Фамилия Амаев скорее всего образована от личного имени Амай. Вопрос в том, что это имя означало для тех, кто его давал, — и здесь есть как минимум две версии, обе уходят корнями в тюркскую и кавказскую cultural среду.

Первая версия связывает имя Амай с древним словом «амаях», которое в языках тюркских народов и горных районов Кавказа со временем превратилось в «амая» или «амай». Переводится это слово как «близко к Богу». Родители могли назвать сына Амаем в надежде, что он вырастет достойным мусульманином, праведным и уважаемым человеком, чтящим все священные законы.

Вторая версия отсылает к ещё более древним представлениям — культу богини Умай (в диалектах её имя звучит как Амай, Ымай). У тюркских народов, в частности у хакасов, Умай — богиня плодородия и деторождения. Считалось, что она следит за рождением детей и оберегает их от несчастий, а физическое развитие ребёнка происходит под её влиянием. Давая младенцу имя Амай, родители просили у богини покровительства. Сама Умай, по поверьям, невидима для людей и постоянно находится на небе среди белых облаков, а её «храмом» считалась гора Ымай-тас в верхнем течении Енисея, среди Саянских хребтов. По-русски эту гору называют Амай (или Амай тура), и место это священное — сюда стекались люди, чтобы поклониться богине и попросить исполнения заветных желаний.

Какая из версий правдоподобнее? Обе имеют право на существование, но вторая — с богиней Умай — опирается на реальный и широко известный в тюркологии культ, зафиксированный в этнографических источниках. Первая версия, с «близостью к Богу», скорее всего, народное переосмысление, попытка объяснить непонятное имя через религиозную лексику.

Фамилия Амаев образована по стандартной русской модели: к основе Амай добавили суффикс -ев, который указывает на принадлежность («чей?» — Амаев, то есть сын Амая). Такую фамилию могли получить в среде, где русская администрация или церковь фиксировала имена по отчеству — это характерно для народов Кавказа, Поволжья и Сибири, контактировавших с Российской империей в XVIII–XIX веках.

По географии фамилия Амаев встречается в Чечне, Ингушетии, Дагестане, а также среди татар и башкир. Это не удивительно: имя Амай как личное имя в разных формах бытует у многих тюркских и кавказских народов. Интересно, что у фамилии есть однокоренные «родственники» — Амаев, Амайев, Амаевский, хотя в русском написании они могут смешиваться из-за особенностей произношения.

Таким образом, носитель фамилии Амаев с большой вероятностью — потомок человека по имени Амай, которое либо несли религиозный смысл, либо отсылало к древней богине-покровительнице.