Фамилия Амежиков — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. В ней нет ни очевидного ремесла, ни распространённого крестильного имени. Чтобы понять её смысл, нужно разобрать словообразовательную модель и поискать возможные искажения.

Основа фамилии — «Амежик». Суффикс «-ов» указывает на типичную русскую модель «чей?» — то есть сын или потомок человека по прозвищу Амежик. Само прозвище, скорее всего, образовано от глагола «межить» или существительного «межа» (граница, раздел). В диалектах «амежить» могло означать «отмежевать, отделить», а «амежек» — человека, который живёт на границе, у межи, либо того, кто занимается межеванием. Приставка «а-» в данном случае — это не литературная, а диалектная или просторечная форма, возникшая из-за аканья: в южнорусских и некоторых среднерусских говорах «о» в начале слова произносится как «а» (ср. «агород» вместо «огород»). Таким образом, «амежик» — это «омежик», то есть человек, живущий у межи или имеющий отношение к границе.

Версия с личным именем маловероятна. Имени «Амежа» или «Амежик» в православных святцах нет. Можно было бы предположить связь с тюркским «аме» (покой, отдых), но суффикс «-ик» и славянский корень «меж» делают эту гипотезу натянутой.

Социально фамилия Амежиков, скорее всего, крестьянская или однодворческая. Межевание земли, раздел наделов, жизнь на границе двух владений — всё это было повседневной реальностью сельского жителя. Прозвище Амежик мог получить либо тот, чей участок находился на краю, у межи, либо человек, который часто спорил о границах и межах. Встречается фамилия в основном в центральных и южных областях России, где аканье — норма.

В написании возможна вариативность: в старых документах могли писать «Амежиков» и «Омежиков» как равноправные варианты, в зависимости от местного произношения. В современном варианте закрепилась форма с буквой «А».