Фамилия Амзаева хранит память о личном имени дальнего предка. В её основе лежит имя Амза — диалектная форма мусульманского мужского имени Хамза. С арабского оно переводится как «смелый, бойкий, горячий», а также «острый, обжигающий». Скорее всего, родители назвали сына Амзой в надежде, что он вырастет храбрым мужчиной и отважным воином.

Есть и другая, менее вероятная версия. Согласно ей, фамилия образовалась от имени Амзай, которое предположительно связано с абхазской мифологической богиней, покровительницей луны Амзой. Компонент -ай в составе имени может быть тюркским именным суффиксом или тюркской основой со значением «месяц». Такие имена обычно давали детям, родившимся в лунном сиянии, так что имя Амзай могло указывать на время рождения основателя рода.

Потомки татарско-русских родов, к которым относятся и Амзаевы, со временем полностью адаптировались к местным традициям и жили по русскому укладу. Имя или прозвище человека закреплялось за его потомками и домочадцами, оформляясь русским суффиксом принадлежности -ев. Так потомок человека по имени Амза получил фамилию Амзаева.

Представители фамилии упоминаются в некоторых Памятных книгах. В Книгу памяти Чеченской Республики внесён Абдул Амзаев, а в Книге памяти Краснодарского края содержится информация об Амете Меметовиче Амзаеве (р. 1926), Ремзи Меметовиче Амзаеве и крымском татарине Сабри Амзаеве. Эти записи показывают географию бытования фамилии — от Чечни до Кубани и Крыма, что подтверждает её тюркские корни.