Фамилия Амзаев — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. В основе скорее всего лежит тюркское имя или прозвище Амза. В тюркских языках слово «амза» имеет несколько значений, одно из которых — «сильный», «могучий». По классической русской модели к основе Амза добавили патронимический суффикс -ев: «сын Амзы». Так же возникли фамилии Абзаев, Ахмадеев, где тюркское имя соединяется с русским окончанием.

Есть и другая версия: связь с арабским именем Хамза (в переводе «лев», «острый»). В ряде тюркских диалектов начальный звук «х» мог редуцироваться или опускаться в устной речи. Тогда Хамзаев превращался в Амзаев. Это фонетическое упрощение закрепилось в документах. Имя Хамза широко известно в мусульманском мире, и фамилии на -ев от него встречаются часто, так что эта гипотеза вполне правдоподобна.

Географически фамилия тяготеет к регионам с тюркским населением: Татарстан, Башкортостан, северный Кавказ (Чечня и Дагестан). В Чечне Амзаев встречается у представителей тейпа (рода), что говорит о древности и укоренённости в местной родовой структуре. Там она могла образоваться от имени Амза, которое носил основатель рода.

Суффикс -ев в данном случае — не просто указание на отчество. Он говорит о том, что фамилия оформлялась уже в русскоязычной канцелярской среде, когда носителей тюркских или кавказских имён записывали «по-русски», прибавляя стандартное окончание. Это типичная история для многих фамилий, возникших в XIX — начале XX века.

В итоге: Амзаев — это фамилия, указывающая на предка по имени Амза (возможно, Хамза), который жил в тюркской или кавказской среде. Если верна версия с «амза» — могучий, фамилия говорит о силе или мужественности; если верна версия с Хамзой — о связи с исламским именем.