Фамилия Аничкова — женская форма, которая напрямую происходит от мужской фамилии Аничков. Чтобы понять её корни, нужно разобрать основу «Аничк-». Это уменьшительная форма от крестильных имён Аникий или Аникей. Аникий — русская народная переработка греческого имени Иоанникий (от греч. «победа»), а Аникей — форма, близкая к каноническому Иоанникий. В быту имя сокращали и «обрусевали»: Аника, Аничка, так что предок носительницы этой фамилии — человек по имени или прозвищу Аничка.

По модели образования фамилия типична для русского Северо-Запада и центральных областей. Суффикс -ов (в женском роде -ова) указывает на принадлежность: «Аничков» буквально означает «сын Анички». Скорее всего, предок был крестьянином или посадским, которого в документах записали по отцу.

В русской ономастике фамилия Аничков известна с XV–XVI веков. Исследователь Степан Веселовский в «Ономастиконе» упоминает Аничковых как старинный московский род, ведущий начало от выходца из Золотой Орды — Беркея, принявшего крещение с именем Аникий. Но это дворянская линия, и к большинству носителей фамилии она не имеет прямого отношения: простой люд мог получить фамилию от того же имени независимо, без связи с аристократией.

Встречается и вариант написания с одной «н» — Аничкова, что нормально для старого письма, где двойные согласные ставили не всегда. Если ваша фамилия именно Аничкова, а не, скажем, с ударением на первый слог, корень тот же. Спорных версий здесь нет: все исследователи сходятся на производности от уменьшительного имени Аничка.