Фамилия Анинець — случай, где украинская словообразовательная модель видна сразу, без оговорок. Основа — Ани́н, уменьшительная форма от крестильных имён Ани́сия, Ани́сим или Ани́сья. Суффикс -ець (в русской передаче -ец) работает как классический патронимический формант: он означает «сын» или «потомок». Анинець — буквально «сын Анина». Если бы фамилия складывалась по великорусской схеме, мы бы получили Анинин или Анисимов — но здесь сработала иная языковая традиция.

Географически фамилия тяготеет к западным и центральным областям Украины, особенно к бывшим землям Галиции и Волыни. Там уменьшительные формы имён с суффиксом -ин и последующим -ець дали множество фамилий: Дмитринець, Степанець, Иванець. Анинець — из того же ряда, но с более редкой основой: имя Ани́н встречается реже, чем Иван или Степан.

Менее вероятная версия — связь не с именем, а с прозвищем от диалектного глагола «ани́ть» (кричать, аукать) или от слова «аня» (в некоторых говорах — няня, мать). Но в случае с Анинець первая версия убедительнее: украинские патронимы на -ець почти всегда строятся от имён, а не от прозвищ.

В дореволюционных метриках и ревизских сказках фамилия не фиксируется массово — это говорит о локальном бытовании. Носители, скорее всего, были крестьянами или мещанами из сёл Западной Украины. В русском языке фамилия склоняется по образцу существительных второго склонения: Анинець, Анинця, Анинцю. Ударение, судя по модели, падает на второй слог — Ани́нець.