Фамилия Анрап — один из тех редких случаев, когда исходное слово не славянское, а, скорее всего, тюркское или арабское, попавшее в русский ономастикон через посредничество народов Поволжья или Кавказа. В отличие от большинства русских фамилий, у неё нет патронимического суффикса (-ов, -ин, -ский). Она сохранила форму чистого имени, что сразу выдает её позднее происхождение: носителя записали просто по личному имени, без адаптации под русскую модель (как Абай, Керим или Алмаз).

Самая правдоподобная версия связывает основу с арабским словом «ан-наб» (الناب) — «клык», «бивень» или, в переносном смысле, «сильный», «острый». В тюркских языках это имя могло звучать как Анрап или Аннап. Давали его мальчикам с пожеланием быть крепким, как зверь, или с намёком на характер — колкий, пробивной. Менее вероятно, что фамилия — искажение при переписи от Антропов или Андрап, где «р» и «п» могли поменяться местами в устной речи, но устойчивой диалектной основы для этого нет.

Географически фамилия Анрап тяготеет к регионам с тюркским населением — Татарстан, Башкортостан, северный Кавказ, а также к казачьим областям, где смешивались русские и тюркские элементы. В дореволюционных метриках она почти не встречается, что говорит о её редкости и, возможно, о недавнем закреплении в письменной форме. Предки носителя фамилии, скорее всего, были крестьянами или казаками, получившими прозвище по имени отца или деда — Анрапа. Никаких дворянских корней или связи с известными историческими родами у этой фамилии нет.