Фамилия Анрап — один из тех редких случаев, когда исходное слово не славянское, а, скорее всего, тюркское или арабское, попавшее в русский ономастикон через посредничество народов Поволжья или Кавказа. Основа фамилии — личное имя Анрап, которое в русском языке не имеет корней. Самая правдоподобная версия связывает её с арабским словом «ан-наб» (الناب) — «клык», «бивень» или, в переносном смысле, «сильный», «острый». В тюркских языках это имя могло звучать как Анрап или Аннап, и давали его мальчикам с пожеланием быть крепким, как зверь, или с намёком на характер — колкий, пробивной.

Менее вероятная, но возможная версия — искажение при переписи фамилии Антропов или Андрап, где «р» и «п» могли поменяться местами в устной речи. Однако для этого нет устойчивой диалектной основы. Суффикс в фамилии нулевой — она сохранила форму чистого имени без русского патронимического окончания (-ов, -ин). Такое встречается у фамилий, которые зафиксировали имя в его исходном виде, без адаптации: например, Абай, Керим, Алмаз. Это указывает на сравнительно позднее оформление фамилии, когда носителя записали просто по личному имени.

Географически фамилия Анрап тяготеет к регионам с тюркским населением — Татарстан, Башкортостан, северный Кавказ, а также к казачьим областям, где смешивались русские и тюркские элементы. В дореволюционных метриках она почти не встречается, что говорит о её редкости и, возможно, о недавнем закреплении в письменной форме. Предки носителя фамилии, скорее всего, были крестьянами или казаками, получившими прозвище по имени отца или деда — Анрапа. Никаких дворянских корней или связи с известными историческими родами у этой фамилии нет.