Фамилия Анриевских — редкий пример фамилии, образованной не от славянского имени или прозвища, а от французского личного имени Анри (Henri). Носитель такой фамилии — потомок человека, которого в России называли Анрием. Это мог быть выходец из Франции или francophone (франкоязычный регион), оказавшийся в Российской империи в XVIII–XIX веках: военнопленный после Отечественной войны 1812 года, гувернёр, офицер на русской службе или мастер-ремесленник.

Сама фамилия построена по типичной для русского Севера и Сибири модели — суффикс -их/-ых. Такие фамилии (Ивановских, Кузнецовских) указывали на принадлежность целому роду: «Анриевские» — «из семьи Анриевых». Окончание -их — показатель родительного падежа множественного числа в местных говорах: «чьи будете?» — «Анриевских». Это же окончание закрепилось в фамилиях, распространённых в Архангельской, Вологодской, Вятской губерниях и у сибирских староверов.

Основа Анрий — это русифицированная форма французского Henri. В русском языке имя передавали как Анри (прямое заимствование) или как Генрих (немецкий вариант). Форма Анрий встречается редко и, скорее всего, возникла в устной речи: иностранца называли «Анрий», а его детей — «Анриевы». Затем к патрониму добавили типичный для северных говоров суффикс -ск- (сравните: Петров — Петровский, Анриев — Анриевский), а потом и окончание -их.

По сословной принадлежности предок-носитель имени Анри вряд ли был крестьянином — иностранцы в России чаще оказывались среди дворян, офицеров, городских ремесленников или учителей. Но сама фамилия Анриевских могла со временем «обрусеть» и перейти в мещанское или крестьянское сословие, особенно если род осел в глубинке и ассимилировался.

Встречаются и более прозаичные версии: фамилия могла возникнуть от прозвища Анрей (искажённое Андрей) с последующим усложнением — Анреев → Анриев. Но это маловероятно: переход «д» в «р» нехарактерен для русской фонетики. Куда правдоподобнее французский след, тем более что фамилии на -ских от иностранных имён — единичны, а значит, каждая из них хранит историю конкретного человека, пересекшего границу и оставшегося в России навсегда.