Фамилия Анриев звучит непривычно для русского уха, и это не случайно. В отличие от подавляющего большинства русских фамилий, образованных от православных имён или славянских прозвищ, Анриев имеет очевидное иноязычное происхождение. Основа фамилии — западноевропейское имя Анри (французский вариант имени Генрих, соответствующего русскому Геннадий или, в более широком смысле, «домашний правитель»). Суффикс -ев указывает на то, что фамилия была русифицирована по стандартной модели: к иностранному имени добавили типичный русский патронимический суффикс, означающий «сын» или «принадлежащий». Таким образом, Анриев — это «сын Анри».

Самая вероятная версия появления такой фамилии — история обрусевших иностранцев. В России XVIII–XIX веков, особенно после Отечественной войны 1812 года, оседало немало французов, а также выходцев из других европейских стран, принявших подданство. Среди них были гувернёры, офицеры, ремесленники. Их потомки, переходя на русский язык, нередко получали фамилии по имени отца, но с русским окончанием. Так Анри мог превратиться в Анриева. Менее вероятная, но возможная версия — это вариант фамилии Оноприев (от канонического имени Онуфрий), где начальное «Он-» со временем переосмыслилось и заменилось на «Ан-» под влиянием модного французского имени. Однако для этой гипотезы нет надёжных диалектных или документальных подтверждений.

С точки зрения сословной принадлежности, фамилия Анриев, скорее всего, не была крестьянской в классическом смысле. Крестьяне в центральной России редко носили фамилии с явно иностранной основой. Носители фамилии могли принадлежать к мелкопоместному дворянству, к разночинцам (например, к семьям обрусевших аптекарей или учителей) или к городским слоям — купцам, мещанам. Географически фамилия редкая и не имеет чёткого «гнезда» в одном регионе, её носители встречаются рассеянно, что также подтверждает версию о единичных случаях русификации.

В современном русском языке фамилия Анриев склоняется как обычное притяжательное прилагательное мужского рода. Она не имеет женского варианта (Анриева — это форма жены или дочери Анриева, а не самостоятельная фамилия). Фамилия уникальна тем, что демонстрирует редкий случай, когда французское имя стало основой для русского патронимического суффикса, минуя стадию прозвища или отчества.