Фамилия Антемийчук — редкий пример украинской фамилии, образованной от полной церковной формы имени. В основе лежит каноническое имя Антемий (греч. Anthemios — «цветущий»). В православных святцах это имя носил священномученик Антемий, епископ Никомидийский. На Руси имя было известно, но большой популярности не получило, поэтому и фамилии от него встречаются нечасто.

Суффикс -чук указывает на западноукраинское происхождение, в первую очередь — на Волынь, Подолье, Галичину. В этой модели -чук означает «сын» или «потомок»: Антемийчук — буквально «маленький Антемий», «сын Антемия». Такие фамилии закреплялись в крестьянской и казацкой среде в XVI–XVIII веках, когда прозвище по отцу переходило к детям и становилось родовым.

Интересно, что в отличие от распространённых Антонов, Антоненко или Антонюков (от сокращённой формы Антон), Антемийчук сохранил полный, книжный вариант имени. Это могло означать, что первый носитель был либо выходцем из духовного сословия, где давали церковные имена без сокращений, либо его отец носил имя Антемий в память о конкретном святом. В любом случае, фамилия — маркер грамотной, возможно, церковной среды.

Встречаемость фамилии крайне низкая. В современных базах данных и телефонных справочниках Антемийчуки фиксируются точечно — несколько семей на западе Украины и единичные носители в России и Беларуси. Сравнение с однокоренными фамилиями (Антемиров, Антемьев) показывает, что все они происходят от одного корня, но суффикс -чук однозначно привязывает Антемийчука к украинской ономастической традиции, где такие патронимы были массовыми.

Таким образом, если ваша фамилия Антемийчук, ваши предки с большой вероятностью жили на западе Украины и носили имя Антемий, которое в народной среде почти вышло из употребления, но сохранилось в виде фамильного прозвания.