Фамилия Анциаури — редкий случай, когда происхождение читается почти без словаря, но с поправкой на географию. Основа фамилии — грузинская, и указывает она не на занятие, а на место. Суффикс «-ури» в грузинских фамилиях (сравните: Гуриели, Мегрели, Кахети) типичен для западно-грузинских областей, особенно для Гурии и Имеретии. Он образует прилагательное со значением «из такой-то местности». То есть Анциаури — это «человек из Анциа» или «относящийся к Анциа».

Что такое «Анциа»? Скорее всего, это топоним — название села, урочища или местности. В Грузии известно несколько населенных пунктов с похожими корнями, например, село Анциа в регионе Самегрело — Земо Сванети. Корень «анц-» может быть связан с древними картвельскими основами, обозначающими возвышенность или границу, но точное значение без полевых исследований лингвистов установить трудно. Фамилия не имеет отношения к тюркским или персидским корням, которые иногда встречаются в закавказских фамилиях; это чисто местная, автохтонная модель.

В русском языке фамилия не склоняется, если принадлежит мужчине (Иван Анциаури, к Ивану Анциаури), и тем более не склоняется у женщин. Ударение, судя по грузинской просодике, падает на последний слог: Анциаури́. В дореволюционных документах могла записываться через «е» или «и» на конце — Анциауров, по аналогии с русификацией других грузинских фамилий (например, Церетели — Церетелев), но форма «Анциаури» устоялась как основная.

По сословной принадлежности носители фамилии — это, вероятно, крестьяне или мелкие дворяне из западной Грузии, где фамилии на «-ури» распространены у всех слоев, в отличие от аристократических «-дзе» и «-швили» в восточной части страны. Встретить Анциаури за пределами Грузии можно в среде потомков эмигрантов первой волны (1920-е годы) или в общинах грузинских диаспор в России и Европе. Фамилия очень редкая, поэтому её носители, скорее всего, знают свою семейную легенду о конкретном селе или ущелье, откуда пошли предки.