Фамилия Антяшов — из числа тех, что хранят в основе редкое личное прозвище или вариант церковного имени. В её центре — корень «Антяш», который, скорее всего, является просторечной формой крестильного имени Антоний (в быту — Антя, Антяш). Такое усечение с суффиксом -яш характерно для южнорусских и украинских говоров: ср. Игнаш (от Игнатий), Тимош (от Тимофей). Имя Антоний в прошлом было одним из самых популярных, но форма Антяш встречается реже, чем Антон или Антоха, что делает фамилию более локальной.

По модели образования Антяшов — типичная патронимическая фамилия на -ов, то есть «сын Антяша». Суффикс присоединили к основе, оканчивающейся на шипящий, без изменений (Антяш + ов). Фамилия закрепилась в среде крестьян и мещан, преимущественно в центральных и южных губерниях России. В документах XIX века Антяшовы встречаются, например, в Тамбовской и Воронежской губерниях — регионах, где фамилии от уменьшительных форм имён были нормой.

Интересно, что в некоторых говорах «антяш» могло быть и самостоятельным прозвищем — от диалектного глагола «антюшить» (медлить, возиться), но эта версия менее вероятна: глагол редок, а связь с именем Антоний надёжнее подтверждается ономастическими словарями (например, у Б. Унбегауна в разделе об образовании фамилий от канонических имён). Таким образом, ваш предок Антяш — скорее всего, человек по имени Антон или Антоний, которого в быту звали ласково или пренебрежительно Антяшом. Никаких знатных корней или громких событий за фамилией не числится, но это не делает её менее интересной: она — точный слепок народной речи и живого словообразования.