Фамилия Антяшов — из числа тех, что хранят в основе редкое личное прозвище или вариант церковного имени. Разбираем её не с корня, а с суффикса: модель Антяш + ов — типичный патроним, то есть «сын Антяша». Суффикс присоединили к основе, оканчивающейся на шипящий, без изменений. Такая фамилия закрепилась в среде крестьян и мещан, преимущественно в центральных и южных губерниях России. В документах XIX века Антяшовы встречаются, например, в Тамбовской и Воронежской губерниях — регионах, где фамилии от уменьшительных форм имён были нормой.

В центре фамилии — корень «Антяш», который, скорее всего, является просторечной формой крестильного имени Антоний (в быту — Антя, Антяш). Такое усечение с суффиксом -яш характерно для южнорусских и украинских говоров: ср. Игнаш (от Игнатий), Тимош (от Тимофей). Имя Антоний в прошлом было одним из самых популярных, но форма Антяш встречается реже, чем Антон или Антоха, что делает фамилию более локальной. Именно эта редкость — главная деталь, отличающая статью об Антяшове от десятка других: перед нами не массовый вариант вроде Антонова, а региональный, почти штучный слепок живой речи.

Интересно, что в некоторых говорах «антяш» могло быть и самостоятельным прозвищем — от диалектного глагола «антюшить» (медлить, возиться). Но эта версия менее вероятна: глагол редок, а связь с именем Антоний надёжнее подтверждается ономастическими словарями, например у Б. Унбегауна в разделе об образовании фамилий от канонических имён. Таким образом, ваш предок Антяш — скорее всего, человек по имени Антон или Антоний, которого в быту звали ласково или пренебрежительно Антяшом. Никаких знатных корней или громких событий за фамилией не числится.