Фамилия Апакетова — женская форма, а её мужской вариант, Апакетов, образован по редкой для русских фамилий модели. Вместо привычных суффиксов -ов/-ев или -ин здесь мы видим суффикс -етов, который в русском языке встречается нечасто и обычно указывает на иноязычное происхождение основы. Это сразу отличает фамилию от массовых крестьянских или дворянских фамилий центральной России.

Корень фамилии — Апакет. Скорее всего, это не славянское имя или прозвище, а тюркское или кавказское личное имя. В тюркских языках «апа» означает «старшая сестра», «тетя» или уважительное обращение к женщине, а «кет» может быть вариантом слова «кен» («широкий») или глагольной формой. Вполне вероятно, что Апакет — это составное имя, распространённое у народов Северного Кавказа или Поволжья (например, у татар, башкир, кумыков). Если так, то фамилия фиксирует имя предка-мужчины, который носил это имя, а русский суффикс -ов добавился при адаптации в русскую среду — типичный случай для фамилий, возникших на стыке культур.

Есть и другая, более прозаичная версия: основа могла произойти от прозвища, связанного с диалектным словом. В некоторых русских говорах «апакет» или «апакета» могло означать небрежно одетого человека, неряху (ср. «опак» — «наоборот», «шиворот-навыворот»). Но эта версия слабее — слишком редкое слово, а фамилия с таким корнем не зафиксирована в центральных областях России, где подобные прозвища могли бы возникнуть.

Географически фамилия Апакетова встречается в основном на юге России и в Поволжье — в Ростовской, Волгоградской областях, в Краснодарском крае. Это как раз регионы активного смешения русского и тюрко-кавказского населения в XVIII–XIX веках. Предки носителей фамилии могли быть крещёными татарами, горцами или казаками, принявшими в родство выходцев с Кавказа. Сословно — скорее всего, крестьяне или однодворцы, хотя точных данных нет.

В написании фамилии обращает на себя внимание ударение: в быту чаще говорят Апаке́това (на второй слог), хотя по правилам русского языка суффикс -етов обычно безударный. Это ещё один намёк на то, что фамилия не исконно русская — ударение сохранилось от исходного имени. Если вы ищете свои корни, стоит обратить внимание на татарские или кумыкские архивы: именно там могло сохраниться имя Апакет, давшее начало этой редкой фамилии.