Фамилия Апаковский — редкий случай, где географическая привязка оказывается едва ли не единственным надёжным ключом к происхождению. В отличие от большинства фамилий на -ский, которые в России часто были искусственными (семинарскими или дворянскими), Апаковский почти наверняка восходит к названию населённого пункта. Основа «Апак-» встречается в топонимике западнорусских и белорусских земель: например, деревня Апаково в бывшей Витебской губернии или хутор Апаковский на территории современной Беларуси. Человек, переехавший из такого места в другую местность, получал прозвание «Апаковский» — то есть «выходец из Апакова».

Суффикс -ский в этой фамилии — типичный указатель на принадлежность к местности, а не на отчество. Если бы фамилия образовалась от личного имени (скажем, от Апак — возможной народной формы канонического имени Абакум или Аввакум), мы бы увидели форму Апаков или Апакин. Выбор -ский говорит о том, что предок, скорее всего, был не крестьянином, а мелким служилым человеком или шляхтичем: в XVI–XVII веках именно эта модель была распространена среди пограничного дворянства и однодворцев на западных рубежах России.

Сама основа Апак- тёмная. Можно предположить, что в основе топонима лежит балтское или финно-угорское слово (сравните литовское apakti — «ослепнуть» или карельское apakka — «глухой, глухое место»), но для уверенности не хватает данных. В любом случае, фамилия не имеет отношения к тюркским корням, как могло бы показаться на первый взгляд: в тюркских языках «апак» означает «белый», но географическое распространение фамилии этого не подтверждает.

Сегодня Апаковские встречаются редко, в основном в Беларуси, Смоленской и Брянской областях. Если ваши предки оттуда, можно попробовать поискать конкретную деревню Апаково или Апаковщину — именно она, скорее всего, и дала фамилию.