Фамилия Аполкина — женская форма, а мужская, Аполкин, образована по самой распространённой в русском языке модели: от основы на -а с помощью суффикса -ин. Это сразу указывает, что в основе лежит слово или имя, оканчивающееся на -а, и предок носителя фамилии, скорее всего, был человеком, которого в быту называли Аполка.

С корнем сложнее. Самая прямая версия — от уменьшительной формы крестильного имени Аполлинарий. В просторечии это имя, означающее «посвящённый Аполлону» (древнегреческий бог), сокращали до Аполя, Аполка. Такая модель характерна для русских фамилий: Полунин от Поля, Васькин от Васька. Однако имя Аполлинарий было редким, в основном монашеским или семинарским, поэтому фамилия Аполкин могла возникнуть в среде духовенства или у людей, получивших «говорящую» фамилию в семинарии по имени святого.

Вторая версия, более прозаичная, — от прозвища Аполка, связанного с диалектным глаголом «апать» или «опать» — кричать, звать, или с «ополка» — часть сохи. В некоторых говорах «аполка» могло означать нечто, относящееся к пахоте. Прозвище могли дать крикливому человеку или, наоборот, земледельцу. Эта версия объясняет, почему фамилия встречается не только в церковной среде, но и среди крестьян, особенно в центральных и южных регионах России.

Фамилия Аполкина — нечастая, но и не уникальная. Встречается в Тверской, Московской и Рязанской областях, что подтверждает её русское происхождение. В написании возможны варианты через «а» (Апалкин), но исторически форма с «о» (Аполкин) считается первичной, так как восходит к имени Аполлинарий, где «о» под ударением. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были либо крестьянами с прозвищем, связанным с работой или характером, либо выходцами из духовного сословия, где давали «благозвучные» фамилии по церковным именам.