Фамилия Аренкины — довольно редкая и стоит особняком в ряду русских фамилий. Её разбор показывает, что перед нами, скорее всего, не исконно русское крестьянское прозвище, а фамилия, возникшая в среде, где сталкивались разные языки и культуры.

Словообразовательная модель прозрачна: основа «Аренк-» плюс типичный русский суффикс принадлежности «-ин». Суффикс «-ин» образует фамилии от слов, оканчивающихся на «-а» или «-я» (сравните: Пушкин — от Пушка, Ильин — от Илья). Значит, в основе лежит имя или прозвище Аренка.

Самая вероятная версия — что Аренка — это производная, уменьшительная форма от крестильного имени Арсений (через народные варианты Арсентий, Арсен). В русской традиции имена часто усекали и добавляли ласкательный суффикс: Арсен — Арсенька — Аренка. Подобное стяжение встречается и в других фамилиях (например, Сеня — Сенькин). Таким образом, Аренкины — это потомки человека, которого в быту звали Аренка, то есть «маленький Арсений».

Менее распространённая, но возможная версия — связь с западноевропейскими корнями. В немецком, голландском или скандинавском языках существует имя Аренд (Arend) или Арен (Aren), означающее «орёл». Если в Россию переселился носитель такого имени, его могли на русский манер назвать Аренка, а его детей — Аренкиными. Эта версия подкрепляется тем, что фамилии на «-ин» от иноязычных основ не редкость (например, Шишкин от немецкого Schischke).

С географией фамилии сложно: она не привязана к одному региону и встречается точечно, что тоже говорит в пользу её позднего происхождения или небольшого числа носителей. Сословная принадлежность предков могла быть разной — от крестьян до мещан или духовенства, но в дворянских родословных книгах фамилия не зафиксирована.

Итог: фамилия Аренкины — это, вероятнее всего, «семейное» прозвище по имени родоначальника Аренки, которое восходит либо к русскому Арсению, либо к западноевропейскому имени со значением «орёл». Выбор между версиями зависит от того, в какой среде искать корни семьи — в русской православной или в среде обрусевших иностранцев.