Фамилия Аренкин — редкий случай, когда форма прозрачна, а значение ускользает. На слух она кажется нерусской, но суффикс -ин однозначно указывает на русскую модель: притяжательные фамилии отвечали на вопрос «чей?» — чей сын? Аренкин.

Сложность в основе «Аренк-». Самое прямое объяснение — это народная переработка крестильного имени. В православных святцах есть Арсений (от греч. «мужественный»). В говорах его сокращали до Арсеня, Арсюши, а в некоторых — до Арени или Аренки. Если бытовало уменьшительное Аренка (от Арсений), то фамилия означает «сын Аренки». Эта модель типична для XVI–XVII веков, когда крестьян записывали по отцу: Иванов сын, Аренкин сын.

Менее вероятная версия — связь с тюркским именем Арен (или Арын), что в ряде тюркских языков значит «чистый», «совестливый». В русских фамилиях на -ин нередки заимствованные основы, особенно в южных и поволжских регионах, где русские жили бок о бок с татарами и башкирами. Но без конкретных записей в писцовых книгах эта гипотеза остаётся догадкой.

Географически фамилия рассеяна: её можно найти и в центральных областях, и на Урале. Это говорит о независимом возникновении в разных местах — от разных носителей прозвища Аренка. Сословно она почти наверняка крестьянская или мещанская: суффикс -ин в дворянских фамилиях встречается редко, обычно у тех, что образованы от полных церковных имён (Пушкин, Голицын), а не от уменьшительных форм.

В целом, Аренкин — фамилия с загадочной основой при ясной форме. Если ваш предок звался Арсением, происхождение почти наверняка от его домашнего имени. Если же корень иной, потребовались бы архивные разыскания в конкретной местности.