Фамилия Аргышев образована от прозвища Аргыш. В основе, скорее всего, лежит диалектное русское слово: в архангельских говорах «аргыш» (или «аргиш») — это олений обоз. Так могли назвать погонщика оленей или человека, который постоянно ездил с таким обозом. Эта версия — самая прозрачная с точки зрения быта северных регионов.

Но у фамилии есть и тюркский след. Слово «аргыш» в тюркских языках (у гайнинских татар, хакасов, ойротов, татар-кряшен) означало человека с почетной ролью на свадьбе: он рассаживал гостей и приглашал на танцы. Прозвище Аргыш мог получить постоянный участник или распорядитель свадеб. Обе версии — и севернорусская, и тюркская — имеют право на существование, и выбрать между ними сложно без точных сведений о географии первых носителей. Фамилия не частая, и её ареал может указать на верный корень.

Есть и третья, топонимическая, возможность. В Башкирии существует деревня Аргыш. Родоначальник Аргышевых мог получить фамилию по названию места, откуда был родом. В русской традиции такие фамилии на -ев часто образовывались от названий селений.

Суффикс -ев в фамилии указывает на принадлежность: «сын Аргыша». Модель образования стандартная для русских фамилий от прозвищ или личных имён. Фамилия фиксируется в документах с XVII века, в частности, среди крестьян и служилых людей на Урале и в Прикамье, что косвенно поддерживает и северную, и тюркскую версию — эти регионы были зоной активного контакта русского и тюркского населения.