Фамилия Архангелькая — редкий случай, когда географическое название перешло в фамилию напрямую, минуя стадию прозвища. Её основа — топоним Архангельск, город на севере России, основанный в 1584 году как Новые Холмогоры и переименованный в 1613 году в честь Михаило-Архангельского монастыря. Но фамилия образована не от названия города, а от прилагательного «архангельский» — то есть «относящийся к Архангельску» или «выходец из Архангельска». Суффикс -ск- в таких фамилиях указывает на принадлежность к местности, и по модели образования это типичная «географическая» фамилия, как Московский, Тверской или Рязанский. Окончание -ая — женская форма, поэтому в мужском варианте фамилия писалась бы как Архангельский.

Словообразовательная модель проста: к основе «Архангельск» добавили суффикс -ск- и окончание -ая. В русской ономастике фамилии на -ский/-цкий исторически считались «дворянскими» или «семинарскими», но для фамилии Архангельская это необязательно. Она могла возникнуть и у крестьянина, переехавшего из Архангельской губернии в другую местность: его записывали по месту выхода — «Архангельский». В духовном сословии такие фамилии давали и по названию епархии или храма: семинарист мог получить фамилию Архангельский, если учился в Архангельской семинарии или служил в церкви, освящённой в честь Архангела Михаила.

Особенность фамилии — её написание через «к»: Архангелькая, а не Архангельская. Это не ошибка, а диалектная или канцелярская особенность. В северных говорах и в документах XVIII–XIX веков окончание -ская часто упрощалось до -кая: Московский — Московкой, Архангельский — Архангелькой. Такая форма могла закрепиться в паспорте или метрике и передаваться по наследству. Если ваш предок записан как Архангелькая, это почти наверняка указывает на северное происхождение семьи — из Архангельской, Вологодской или Олонецкой губерний.

Сравнение с однокоренными фамилиями показывает, что Архангельская — не единственная производная. Есть Архангелов, Архангельцев, Архангелич, но все они редки. Фамилия Архангелькая стоит особняком: она не указывает на имя отца (как Архангелов) и не на профессию, а прямо говорит о месте. Это делает её ценной для генеалога: если предок носил такую фамилию, его корни почти наверняка лежат на Русском Севере, в регионе с уникальной историей поморского быта и старообрядческой культуры.