Фамилия Архимонова — женская форма, и её разбор логично начать с мужского варианта Архимонов. В основе лежит редкое имя или прозвище Архимон, которое, скорее всего, является народной, обиходной формой церковного имени Архипп (в просторечии — Архип). Суффикс -ов в фамилии указывает на принадлежность: Архимонов буквально значит «сын Архимона». Почему не «Архипов»? В говорах имя Архип легко обрастало уменьшительными и видоизменёнными формами: Архим, Архимон, Архимоша. Такой переход «п» в «м» — обычное дело для живой речи (сравните: Степан — Стема, Филипп — Филимон).

Есть и вторая версия, менее вероятная. Она связывает фамилию с греческим «архи» (главный, старший) и «мон» (один, единый). Тогда Архимон — это прозвище для монаха-отшельника или человека, ведущего уединённый образ жизни. Однако в русской традиции сложные прозвища на «архи-» (Архимандрит, Архиерей) обычно давали не в быту, а как ироничные или шутливые именования. Прямых подтверждений этой гипотезы в словарях фамилий нет, поэтому версия через имя Архипп выглядит убедительнее.

Географически фамилия Архимонов (и Архимонова) тяготеет к южнорусским и центральным областям — там, где аканье и смягчение согласных в народной речи были сильнее. Встречается в Воронежской, Тамбовской, Рязанской губерниях, а также среди казачества. В дореволюционных переписях носители фамилии числились в основном крестьянами и мещанами, что типично для фамилий, образованных от канонических имён в просторечной огласовке.

Интересная деталь: в некоторых говорах Архимоном могли в шутку называть не только человека, но и домового или лешего — за «архиважную» внешность или поведение. Так что предок-Архимонов мог получить прозвище за важный вид или за то, что «командовал» в семье. Но это уже область народной этимологии — занимательная, но необязательная для понимания корней фамилии.