Фамилия Арнатовская — женская форма от Арнатовский, и её главная загадка в основе. В отличие от большинства фамилий на -ский, которые восходят к географическим названиям (например, от села Арнатово), здесь корень почти наверняка указывает не на место, а на прозвище или этноним. Разберёмся, откуда взялось слово «арнаут». В русских говорах и исторических документах у него было два основных значения. Первое — этническое: так в Турции и на Балканах называли албанцев, а в России XIX века — особые турецкие или греческие военные отряды. Второе, более бытовое, зафиксировано в южнорусских и украинских говорах: арнаутом могли назвать упрямого, задиристого человека, а также — реже — широкополую шляпу или род пшеницы.

Прозвище Арнат (упрощённая форма от «арнаут») мог получить либо человек с тёмными глазами и смуглой кожей, напоминавший южанина, либо обладатель крутого нрава. Фамилии на -ский в среде духовенства и дворянства часто образовывали от прозвищ отцов: Арнатовский — «сын или потомок того, кого звали Арнат». Суффикс -ов- здесь вторичный, присоединённый к основе для благозвучия. Встречается и версия, что Арнатовский — это топонимическая фамилия, образованная от названия хутора или деревни Арнатовка (такие встречались на территории современной Украины и в Бессарабии). Но в этом случае ожидалась бы форма «Арнатовский» как указание на владельца поместья, а не на жителя — для жителя была бы типична фамилия «Арнатов». Поэтому более вероятно прозвищное происхождение.

Фамилия редкая, её распространение связано преимущественно с югом России и Украиной, а также с потомками казачества и духовенства, которые активно использовали модель фамилий на -ский. Сословно носители могли быть как из мещан и крестьян, так и из священнического сословия — единой картины нет. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать корни в тех местах, где прозвища, связанные с внешностью или характером, легко переходили в родовые имена.