Языки, на которых они говорят жители Кавказа, зачастую принадлежат к разным языковым семьям. Однако кавказские фамилии представляют собой более или менее единый пласт имен собственных. Фамилия Асабаева образована от имени Асабай, состоящего из двух частей: «аса» и «бай». Первая из них, скорее всего, берет начало от чеченского нарицательного «аса» со значением полоска земли. Вторая часть имени Асабай восходит к древнетюркскому существительному «бай», то есть «господин, богатый человек». Таким образом, именование Асабай можно трактовать как «владелец полоски земли». Вероятно, родители назвали сына Асабаем, желая, чтобы он вырос состоятельным человеком. Возможно также, что первая часть имени Асабай связана с нарицательным «асы». Так называется одно из древних чеченских племен. Основа «бай» имеет то же значение, что и в первом случае. Таким образом, именование Асабай может означать «властитель асов». Не исключено, что первый компонент имени Асабай этимологически связан с чеченским существительным «аса», то есть «ель». Второй элемент имеет такое же значение, что и в первых двух случаях. Таким образом, имя Асабай можно перевести как «господин-ель». Впоследствии имя далекого пращура передавалось от отца к сыну в неизменном виде, а иногда оформлялось фамильными суффиксами. Таким образом, потомок человека, которого звали Асабай, со временем получил фамилию Асабаева. Информация о представителях фамилии Асабаевых содержатся в различных документах. Так, в источниках чеченского происхождения упоминаются Куват Асабаев, родившийся в 1878 году, Мовлет Асабаев, родившийся в 1904 году, Муса Баудинович Асабаев, родившийся в 1924 году. Однако процесс формирования фамилий был достаточно длительным, поэтому точно определить время и место происхождения рода Асабаевых можно лишь на основании серьезных генеалогических исследований.