Фамилия Асабаева происходит от мужского имени Асабай, которое было распространено у народов Кавказа, особенно у чеченцев. Само имя состоит из двух частей. Вторая часть — «бай» — древнетюркская, означает «господин», «богатый человек». Первая часть, «аса», более спорная, и здесь возможны три основных толкования.

Самая вероятная версия связывает «аса» с чеченским словом, обозначающим «полоску земли». Тогда имя Асабай — «владелец полоски земли». Родители, давая такое имя, желали сыну стать зажиточным землевладельцем. По второй версии, «аса» — это название древнего чеченского племени асов. В этом случае Асабай означает «властитель асов». Третья, менее убедительная гипотеза, возводит первую часть к чеченскому «аса» — «ель», что даёт перевод «господин-ель». Скорее всего, имя имело пожелательное или социальное значение, а не «растительное».

В документах встречаются реальные носители этой фамилии: чеченцы Куват Асабаев (1878 г.р.), Мовлет Асабаев (1904 г.р.) и Муса Баудинович Асабаев (1924 г.р.). Это подтверждает, что фамилия укоренилась на Кавказе не позднее XIX века. Фамильный суффикс -ев указывает на происхождение от отца: Асабаев — потомок Асабая. Точное время и место возникновения конкретной ветви рода можно установить только углублённым генеалогическим поиском.