Фамилия Асабина — женская форма, а её основа — мужское прозвище Асаба. В старину так называли владельца собственного земельного надела, вотчины, человека, который вёл на своей земле самостоятельное хозяйство. Прозвище, скорее всего, было уважительным и указывало на социальный статус: перед нами не крепостной и не безземельный батрак, а хозяин, «осабленный» (то есть наделённый землёй, оседлый).

Есть и другая версия, менее распространённая, но лингвистически возможная. Она связывает корень с арабским именем Асаб, которое переводят как «нервный, раздражительный». В этом случае фамилия могла бы отражать характер конкретного человека, а не его положение. Однако для русской ономастики первая версия — с землевладением — выглядит более естественной: прозвища от социального и имущественного положения давали часто, а прямое заимствование арабского имени в крестьянской среде — редкость.

С точки зрения словообразования всё прозрачно: суффикс -ин указывает на принадлежность («чей?» — Асабин, то есть сын или потомок Асабы). Форма Асабина — это «жена Асабина» или «дочь Асабина», как это принято в русской традиции. Географически фамилия редкая, встречается в основном в центральных и южных регионах России, что косвенно подтверждает её связь с земледельческим бытом: вотчинные хозяйства были характерны именно для этих земель.

Так что, скорее всего, ваш предок по мужской линии был самостоятельным крестьянином или мелким помещиком, имевшим собственную землю. Имя Асаб, если оно и было, осталось бы лишь маловероятным исключением.