Фамилия Асарова (и её мужская форма Асаров) образована от личного имени Асар. В переводе с чеченского языка это имя означает «вдохновение». Таким образом, в основе фамилии лежит не прозвище или профессия, а прямое именование предка — человека, носившего имя Асар. Потомок этого человека со временем получил фамилию Асаров, а затем, по женской линии, и Асарова.

Однако было бы ошибкой считать фамилию исключительно чеченской. Документы фиксируют носителей фамилии и в других регионах. В источниках упоминаются Джамиль Хозович Асаров (родился в 1936 году), Сисембек Асаров (родился в 11 ауле Мангистауского района Гурьевской области) и Хозу Асаров (родился в 1884 году). Последние два примера указывают на распространение фамилии среди казахов, что нередко для тюркских и кавказских имен, переходящих из культуры в культуру.

Имя Асар встречается и в арабском мире, где оно означает «след», «отпечаток» или «память». Эта версия не противоречит первой, а скорее дополняет её: имя могло прийти в чеченскую среду вместе с исламом. В таком случае фамилия Асарова — не столько чеченская, сколько мусульманская по корню, но адаптированная русским суффиксом -ов.

Процесс формирования фамилий у народов Северного Кавказа и Средней Азии был длительным и неоднородным. Точно определить время и место возникновения конкретного рода Асаровых можно лишь на основании серьёзных генеалогических изысканий, но ясно одно: фамилия эта — не случайный набор звуков, а прямой отсыл к имени, которое когда-то дали человеку с пожеланием вдохновения или памяти.