Фамилия Асаров происходит от мужского имени Асар. В чеченском языке это слово означает «вдохновение». Значит, предком носителей фамилии был человек по имени Асар, а его потомки со временем закрепили за собой фамилию по отцу — Асаровы.

Фамилия строится по простой и распространённой модели: к основе-имени добавляется русский патронимический суффикс -ов, который указывает на принадлежность («чей?» — Асаров сын). Такая схема типична для многих народов Северного Кавказа, где русская фамильная форма накладывалась на местные имена.

В документах встречаются разные носители этой фамилии. Например, Джамиль Хозович Асаров родился в 1936 году. Упоминается Сисембек Асаров из 11 аула Мангистауского района Гурьевской области (ныне Казахстан). Самый ранний из известных — Хозу Асаров, родившийся в 1884 году. Эти записи показывают, что фамилия бытовала как на Кавказе, так и в казахских степях, куда её могли принести переселенцы или где имя Асар могло иметь тюркские корни.

В тюркских языках, в частности казахском и ногайском, слово «асар» тоже встречается — в значении «помощь», «взаимовыручка» (обычай асар, когда односельчане сообща строят дом). Не исключено, что в некоторых случаях фамилия могла закрепиться за человеком, получившим прозвище за участие в такой помощи, или же имя Асар было связано с этим понятием. Однако чеченская версия происхождения от имени со значением «вдохновение» выглядит основной и наиболее прозрачной.