Фамилия Ашметьев — редкий случай, где основа, скорее всего, не славянская, а тюркская. Если отбросить типичный русский фамильный суффикс -ев, указывающий на принадлежность («чей?»), остаётся корень Ашмет. В нём угадывается татарское или башкирское мужское имя Ашмет (вариант Ахмет, восходящий к арабскому Ахмад — «достохвальный»). Переход «х» в «ш» в тюркских диалектах обычен, как и в фамилиях Ашмарин, Ашманов. Таким образом, Ашметьев — это «сын Ашмета», то есть потомок человека по имени Ашмет.

Вторая, менее вероятная, но допустимая версия — от прозвища. В некоторых говорах «ашметкой» могли называть неопрятного человека или, наоборот, того, кто «ашмет» — быстро, жадно ест (от тюркского «аш» — еда). Но для фамилий на -ев прозвищная основа встречается реже, чем патронимическая (по отцу). Поэтому версия с личным именем Ашмет выглядит убедительнее.

В дореволюционных записях фамилия встречается в среде крещёных татар и в русско-татарском пограничье — Казанская, Симбирская, Оренбургская губернии. Ашметьевы могли быть как крестьянами, так и служилыми людьми, учитывая, что многие тюркские роды в XVI–XVII веках несли сторожевую службу на южных рубежах. Сословной принадлежности «по умолчанию» у фамилии нет: она бытовала и у дворян (например, в роду Ашметьевых из Казанской губернии), и у государственных крестьян.

Фамилия нечастотная, но не исчезнувшая. Её носители живут в Поволжье, на Урале и в Сибири — там, куда в XIX веке переселялись татарские и чувашские семьи. Если ваши предки Ашметьевы, скорее всего, их корни — в тюркском имени, которое дали ребёнку с пожеланием быть достойным похвалы.