Фамилия Асоулюк — редкий случай, когда исходное слово почти стёрлось под напором живого произношения. В основе лежит воинский чин «есаул» (от тюркского ясаул — «начальник, распорядитель»). В казачьей среде и южнорусских говорах слово часто звучало как «асаул» или «асоул» — именно этот, более простой для произношения вариант и закрепился в фамилии.

Суффикс -юк сразу указывает на регион: он типичен для западных областей Украины и юга Белоруссии. В отличие от распространённого в центральной России суффикса -ов (Есаулов), -юк выполняет роль патронимического показателя — буквально «маленький есаул» или «потомок есаула». Аналогичная модель работает в фамилиях Гнатюк, Ковалюк, Романюк.

Кем был первый носитель? Скорее всего, не самим есаулом, а человеком из его окружения: сыном, младшим родственником, работником или даже крестьянином, жившим на земле есаула. В казачьих общинах прозвище «Есауленко» или «Есаулюк» давали тому, кто служил при есауле, а со временем оно превратилось в наследственную фамилию.

Интересная деталь: написание через о (Асоулюк, а не Асаулюк) — не ошибка, а отражение акающего произношения, свойственного некоторым говорам юга России и Украины. В документах XVIII–XIX веков можно встретить оба варианта, но фамилия закрепилась именно в той форме, как слышалась на месте.

Сравните с однокоренными фамилиями: Есаулов (русская, с суффиксом принадлежности -ов), Есауленко (украинская, с суффиксом -енко, означающим «сын»), Асауляк (польский вариант с суффиксом -як). Асоулюк стоит в этом ряду особняком — и по суффиксу, и по огласовке корня. Это фамилия, которая сохранила живую народную фонетику, а не книжную норму.