Фамилия Астошенок — редкий пример, где сразу бросается в глаза не корень, а суффикс. Окончание -ок в белорусской и западнорусской традиции часто указывает на уменьшительную форму имени или прозвища, причём не просто «маленький», а «сын такого-то». В данном случае модель «основа + -енок» (как в фамилиях Козленок, Рыбченок) трансформировалась в диалектное «-онок», где «е» перешло в «о» под ударением. Таким образом, Астошенок — это буквально «сын Астоши» или «маленький Астоша».

Сама основа Астош — это, скорее всего, обиходная форма крестильного имени Евстафий. В народной речи это имя упрощали до Остап, Осташ, Асташ, а отсюда уже один шаг до ласкательного Астоша. Евстафий в переводе с греческого означает «стойкий», «устойчивый», так что предок носителя фамилии мог быть человеком с твёрдым характером — или просто носил распространённое в старину имя, которое со временем превратилось в прозвище по отцу.

Географически фамилия Астошенок почти наверняка привязана к территории современной Беларуси или западных областей России (Смоленщина, Брянщина). Суффикс -онок типичен именно для белорусской ономастики: на востоке чаще встречались варианты на -ов/-ев, а здесь сохранилась старая патронимическая форма без дополнительного суффикса принадлежности. Если ваши предки из Витебской, Могилёвской или Минской губерний, это подтверждает версию.

Встречается также написание Асташонок — с буквой «а» в первом слоге. Это не ошибка, а отражение местного акающего произношения: в белорусских говорах «о» без ударения часто переходит в «а». Оба варианта фамилии восходят к одному корню, и разница только в том, как записывали фамилию при переписях или в церковных метриках.

Редкость фамилии (по открытым данным, носителей — единицы) говорит о том, что род, скорее всего, был немногочисленным и жил компактно, в одной-двух деревнях. Никаких громких исторических личностей с такой фамилией не известно, но это не делает её менее ценной: по ней можно проследить, как крестьянское или мещанское имя-прозвище закрепилось за потомками и дошло до наших дней почти без изменений.