Фамилия Асулкаев — редкая и территориально привязанная, её стоит искать на Северном Кавказе, в первую очередь в Чечне и Ингушетии. Разбор словообразовательной модели даёт ключ к происхождению: суффикс -ев (а не -ов) присоединён к основе, оканчивающейся на гласный или мягкий согласный. В данном случае основа — личное имя Асулка (или Асулкха). Это имя составное: «ас» может означать «настоящий», «правильный» либо восходить к арабскому «ас» — «основа», а «улкха» в чеченском и ингушском языках переводится как «сын», «потомок». Получается, Асулка — это «настоящий сын» или «сын Асы», а фамилия Асулкаев, соответственно, означает «потомок Асулки».

В отличие от русских фамилий на -ов/-ев, которые часто образуются от полных крестильных имён (Иванов), Асулкаев — это фамилия-патроним от личного имени-прозвища. Такая модель типична для вайнахских народов: фамилии здесь фиксировали имя родоначальника тейпа (рода) или его прозвище. География фамилии узкая: по открытым данным и телефонным справочникам, большинство носителей живут в Чеченской Республике (особенно в Грозном и Урус-Мартановском районе) и в Ингушетии, а также встречаются в чеченской диаспоре по другим регионам России.

Сравнение с однокоренными фамилиями — Асулханов, Асултанов — показывает, что все они образованы от одного корня «Асул-» с разными суффиксами. Это говорит о том, что имя Асул (или Асулка) было достаточно популярным в определённой родовой среде, чтобы дать начало нескольким ветвям. Социальный статус предков определить сложно: фамилия не княжеская и не дворянская. Скорее всего, предки были свободными общинниками, воинами или земледельцами. В чеченском обществе фамилия (тейп) в первую очередь указывала на кровное родство и общее происхождение, а не на богатство или сословие.