Фамилия Асяпов образована по простой и распространённой модели: к основе, которая заканчивалась на мягкий согласный, добавили суффикс -ов. Он отвечает на вопрос «чей?» и указывает на родство — Асяпов значит «сын Асяпа» или «потомок Асяпа».

Самая надёжная версия происхождения — тюркское мужское имя Асяп. Оно восходит к арабскому Асиб, в основе которого корень со значением «льющийся дождь», «обильный». В татарской и башкирской среде имя бытовало в формах Асип, Асып и Асяп. Фамилия почти наверняка указывает на тюркские корни: её носители — потомки выходцев из Поволжья или Приуралья, которые со временем обрусели. География фамилии это подтверждает: Асяповы встречаются в Татарстане, Башкортостане, Оренбургской и Челябинской областях, реже — на Урале и в Западной Сибири.

Есть и другая, менее убедительная версия — от прозвища Асяп, связанного с редким диалектным глаголом «асяпать» (в некоторых говорах — «хватать», «цапать», «задевать»). Тогда Асяпом могли прозвать либо неловкого, либо, наоборот, цепкого и хваткого человека. Но эта гипотеза слабая: глагол локальный, а фамилия сосредоточена в регионах с сильным тюркским влиянием, а не в центральных русских говорах.

Словообразовательно Асяпов стоит в ряду патронимических фамилий вроде Асанов, Асинов, Асапов. Отличие — в мягком произношении основы, что характерно для имён из языков, где мягкость согласного меняет смысл. В русской письменной традиции это закрепилось буквой «я».

Фамилия не была дворянской и не попала в родословные книги империи. Её носители — скорее всего, крестьяне или казаки, жившие на границе тюркского и русского миров. Этимология простая и ясная: от имени Асяп через суффикс -ов.