Фамилия Асятов — редкий пример, когда основа очевидна, а происхождение упирается в вопрос: от какого именно имени или прозвища её образовали. Словообразовательная модель здесь стандартная: суффикс -ов указывает на принадлежность («чей?»), а корень Асят — это, скорее всего, краткая форма какого-то полного имени.

Самая вероятная версия: Асят — это народная, бытовая форма крестильного имени Афанасий. В русских говорах имя Афанасий сокращали по-разному: Афоня, Афонас, Фаня, Ася. Форма «Асят» могла возникнуть через добавление уменьшительного суффикта -ят (как в именах Степан — Степат, Иван — Иванят). Тогда Асятов буквально означает «сын Асята», то есть потомок человека, которого в обиходе звали Асят вместо Афанасия. Имя Афанасий (от греческого «афанатос» — бессмертный) было очень распространено среди крестьян и духовенства, так что эта версия самая надёжная.

Менее вероятная, но возможная версия — связь с тюркским именем Асят. У татар, башкир и других тюркских народов встречается имя Асят (иногда как вариант имени Асад — «лев»). Однако фамилия Асятов, судя по географии, встречается в основном в русской среде (Поволжье, центральные области России), а не в татарской, где у фамилии было бы окончание -ов, но корень чаще оформлялся бы иначе (например, Асатов). Поэтому тюркская версия — скорее исключение.

Встречается и гипотеза, что Асят — это прозвище от диалектного слова «асять» или «аситься» (капризничать, упрямиться, или, наоборот, ластиться). В некоторых говорах «ася» — ласковое обращение к ребёнку, почти как «детка». Тогда Асятов — потомок человека, которого прозвали за мягкий или, напротив, капризный нрав. Но эта версия уступает имени Афанасий: прозвищная этимология обычно опирается на более яркую и устойчивую характеристику, а «ася» как «ласкательное» — слишком размыто.

Таким образом, с высокой долей уверенности можно сказать: фамилия Асятов — это отчество от разговорной формы имени Афанасий. Предки носителей этой фамилии, скорее всего, были русскими крестьянами или мещанами, а сама фамилия закрепилась в тех регионах, где имя Афанасий сокращали именно до формы «Асят» — возможно, в среднерусских говорах.