Фамилия Аустер — редкий пример, когда географическое название перешло в фамилию почти без изменений, минуя типичные русские суффиксы. Её основа — топоним Аустер, под которым в истории известны два совершенно разных места: старинное латинское название Острова Святой Елены (Sanctus Helena, но в некоторых источниках — Auster) и, что гораздо вероятнее для русской почвы, немецкое название города Устер (Uster) в кантоне Цюрих. В немецкой традиции фамилии, образованные от названий городов без добавочных суффиксов, — обычное дело: так появились Берлин, Лейпциг, Базель.

Если разбирать словообразовательную модель, то Аустер стоит в ряду «чистых» топонимических фамилий, которые в России давали либо выходцам из Европы, либо, реже, крепостным, записанным по месту прежнего жительства. Суффикса нет, окончание нулевое — это признак того, что фамилия не русифицировалась, а сохранила иноземный облик. В русском языке ударение, скорее всего, на первый слог: А́устер.

Есть и вторая, более прозаичная версия: фамилия могла возникнуть как прозвище от диалектного южного «аустер» — так в некоторых говорах называли сильный ветер с моря (от латинского auster — южный ветер). В этом случае предок мог получить прозвище за резкий нрав, профессию моряка или жизнь на открытом побережье. Эта гипотеза менее популярна, но лингвистически оправдана: в фамилиях нередко закрепляются названия ветров (Ветров, Борей, Аустер — как раз такой случай).

С географией бытования сложно: фамилия Аустер не входит в массовые списки русских фамилий. В дореволюционных метрических книгах она встречается в Петербурге и Одессе — портовых городах, где оседали иностранцы и где было слышно слово «аустер» как морской термин. В советское время носители фиксировались в Прибалтике и на юге Украины, что подтверждает обе версии: и немецкое происхождение, и южнорусский диалектный корень.

Однокоренных фамилий в русском языке практически нет: Аустер стоит особняком. Ближайшие аналоги — Австер, Аустерлиц (по названию битвы под Аустерлицем, современный Славков-у-Брна), но это уже другая история. Если ваши предки носили фамилию Аустер, скорее всего, они либо были выходцами из немецкоязычных земель, либо жили на юге России и имели отношение к морю или ветреной погоде — точнее сказать без генеалогического поиска невозможно.