Фамилия Авчиннико — редкий пример того, как устная речь или ошибка писаря превратили привычную фамилию в новую форму. Скорее всего, перед вами вариант фамилии Авчинников, у которого отпало конечное -в, или результат украинской/белорусской модели фамилий на -о, где окончание -ов перешло в -о.

Корень «авчин-» восходит к слову «авчина» — так в южных и западных говорах называли овчину, то есть овечью шкуру или тулуп из неё. Прозвище Авчинник давали либо скорняку, выделывающему овчины, либо человеку, который постоянно носил овчинный полушубок и тем запомнился. В русской традиции фамилии на -ов образуются от названия профессии отца: Авчинников — сын Авчинника. Вариант Авчиннико с двойным -н- мог возникнуть из-за того, что в основе уже было двойное «нн» (от «овчинный»), а при переносе ударения или в документах его случайно удвоили.

Географически фамилия Авчинников и её производные встречаются в центральных и южных регионах России, на Украине и в Беларуси. Встречаемость формы Авчиннико крайне низкая, поэтому её носители — потомки переселенцев, чья фамилия изменилась при переписи или в эмиграции. В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» разбирается модель Авчинников как типичная «профессиональная» фамилия, но вариант с конечным -о не упоминается — это локальная особенность. Если вы ищете фамилию Авчиннико, ваши предки почти наверняка занимались обработкой овчины — скорняжным делом или жили в местности, где овцеводство было основным занятием. Двойная «н» в написании — скорее случайность, чем правило, и не меняет смысла фамилии.