Фамилия Азабин — один из тех случаев, когда русская фамилия хранит память о тюркском прошлом. Её основа — древнее прозвище Азаба, восходящее к тюркскому слову «азаба» или «азап». В Османской империи и в Крымском ханстве так называли легковооружённого воина-добровольца, который нёс сторожевую службу и участвовал в набегах. В переносном значении слово приобрело оттенки «беспокойный человек», «забияка» или даже «горемыка». Поэтому первый носитель прозвища мог быть либо отчаянным рубакой, либо человеком с неспокойным, своенравным характером.

Суффикс -ин — типичная русская модель образования фамилий от существительных, оканчивающихся на -а/-я. Азабин буквально значит «сын Азабы». Такая модель особенно распространена в северных и центральных регионах России, где активно шло смешение славянского и тюркского населения. В отличие от фамилий на -ов/-ев, которые часто образовывались от прозвищ на согласный (Кузнецов, Петров), вариант с -ин чётко сигнализирует: исходное прозвище звучало как Азаба.

Встречается также родственная фамилия Азапов — с тем же корнем, но оформленная по другой модели: от основы на согласный. Если Азабин — это «чей-то сын», то Азапов можно понять как «чей-то слуга» или «человек из рода Азапа». Обе фамилии близки по происхождению, но Азабин встречается чаще.

Фамилия фиксируется в старых документах не только в центральной России, но и на юге, в казачьих областях. Это закономерно: казачья среда, постоянно контактировавшая с тюркскими народами, охотно вбирала в себя подобные прозвища. Предки современных Азабиных почти наверняка были людьми военного склада — либо служилыми, либо вольными.

Версия о происхождении от крестильного имени Азария маловероятна. В русской традиции такие имена давали бы фамилию Азарьин или Азаров. Тюркский след здесь выглядит гораздо убедительнее, особенно если учесть, что слово «азап» в значении «воин» прочно вошло в лексику русского юга и казачества.