Фамилия Азбеков — одна из тех, где за простым звучанием стоит несколько версий происхождения, и выбрать единственную непросто. Наиболее вероятно, что в её основе лежит мужское тюркское имя Азбек. Оно составное: первая часть «аз» в тюркских языках означает «маленький, незначительный», а вторая — «бек» («князь, повелитель, начальник, глава, хозяин, господин»). Получается смысловая конструкция «маленький бек» или «незначительный господин» — такое имя могли дать как оберег, чтобы уберечь ребёнка от сглаза и зависти, или же как указание на младшего сына в семье знатного рода.

Существует и другая, более спорная версия, которая связывает фамилию Азбеков с мусульманским именем Казбек. В переводе с арабского оно означает «богатый судья». Однако здесь есть лингвистическая неувязка: начальный звук «к» в тюркских языках при переходе в русскую фамилию обычно сохраняется (ср. Казбеков), а не отпадает. Поэтому версия о происхождении напрямую от имени Казбек кажется менее убедительной, хотя и возможна как вариант народного переосмысления.

Третья версия, которую тоже иногда приводят, отталкивается не от имени, а от прозвища Казбек. В этом случае прозвище мог получить человек, живший у подножия одной из высочайших гор Кавказа — Казбека. С этой горой связана древняя легенда: будто бы к её скалам был прикован Прометей, а пришедший к нему старый враг-дракон мгновенно превратился в камень, образовав Скалы Дракона на высоте 4800 метров в виде гигантской километровой подковы. Красивая легенда, но к фамилии Азбеков она имеет лишь косвенное отношение, так как снова упирается в ту же проблему с начальным звуком «к».

Сама фамилия образована по стандартной русской модели с суффиксом -ов, который указывает на принадлежность: Азбеков буквально означает «сын Азбека» или «потомок Азбека». Такая модель была особенно распространена в среде тюркских народов, переходивших в русское подданство, и в среде служилых людей, получавших фамилии по имени отца. Сословно носители фамилии Азбеков могли быть как из княжеских или мурзинских родов (учитывая компонент «бек»), так и из простых крестьян или казаков, носивших это имя как личное. Географически фамилия встречается в регионах с сильным тюркским влиянием: в Поволжье, на Урале, в Сибири и на Северном Кавказе.