Фамилия Азбекян построена по классической армянской модели: суффикс -ян указывает на принадлежность к роду, то есть Азбекян — «потомок Азбека». Это патронимический формант, самый распространённый в армянской ономастике, и он сразу выдаёт происхождение фамилии, в отличие от славянских -ов или -ин.

Сложнее с основой «Азбек» — в армянском языке у неё нет прямого значения. Самая убедительная версия ведёт к тюркскому имени или прозвищу Азбек (встречается вариант Асбек). Оно составное: «аз» в тюркских языках может быть усилительной частицей (иногда переводится как «мало», «немного», но здесь скорее играет роль подчёркивания), а «бек» — это титул «господин», «князь», «правитель». Вместе Азбек могло означать «настоящий бек» или «истинный господин». Армяне Закавказья веками жили в тесном контакте с тюркскими народами и нередко заимствовали такие имена, превращая их затем в фамилии. Прозвище Азбек, скорее всего, давали человеку уважаемому или тому, кто имел отношение к местной знати, хотя социальный статус предков мог быть разным — от сельских жителей до ремесленников и торговцев.

Есть и вторая версия, но она слабее. Она связывает основу с армянским словом «азб» (ազբ) — «племя», «род». Тогда Азбекян можно было бы толковать как «из рода» или «племенной», но это слово почти не встречается в личных именах, так что гипотеза остаётся умозрительной.

Географически фамилия характерна для армян, чьи корни уходят в Восточную Армению (современная Армения, Нагорный Карабах) и в регионы, где армяне исторически соседствовали с тюркоязычным населением. Носители Азбекян рассеяны по Армении, России, Грузии, Ирану и армянской диаспоре. Примечательно, что написание фамилии может варьироваться: в русской передаче встречается как Азбекян, так и Асбекян — это отражает колебания в произношении начального согласного, что типично для заимствованных имён на стыке языков.