Фамилия Азбекян — яркий пример армянской модели образования фамилий, которая строится не на славянских суффиксах, а на форманте -ян. Это один из самых распространённых патронимических суффиксов в армянском языке, означающий «принадлежащий роду» или «потомок». Другими словами, Азбекян — это «потомок Азбека».

Сложность в том, что основа «Азбек» в армянском языке не имеет прямого и очевидного значения. Здесь возможны две основные версии, и первая выглядит убедительнее. В её основе лежит тюркское имя или прозвище Азбек (вариант — Асбек), которое состоит из двух частей: «аз» (в тюркских языках может означать «мало», «немного», но часто выступает как усилительная частица) и «бек» (титул «господин», «князь», «правитель»). Таким образом, Азбек могло означать «настоящий бек» или «истинный господин». В тюркской среде это имя было известно, а армяне, жившие в тесном контакте с тюркскими народами (особенно в Закавказье), нередко заимствовали такие имена, превращая их в фамилии.

Вторая версия, более редкая, связывает основу с армянским словом «азб» (ազբ), которое переводится как «племя», «род». В таком случае Азбекян могло бы означать «из рода» или «племенной», но это предположение менее доказано, так как слово «азб» почти не встречается в личных именах.

С точки зрения географии, фамилия Азбекян характерна для армян, чьи корни уходят в регионы Восточной Армении (современная Армения, Нагорный Карабах), а также в армянские общины, исторически жившие рядом с тюркоязычным населением. Носители фамилии встречаются в Армении, России, Грузии, Иране и в армянской диаспоре. Социальный статус предков, скорее всего, был разным: от сельских жителей до ремесленников и торговцев, но само прозвище «Азбек» могло указывать на уважаемого человека или на того, кто имел отношение к местной знати.