Фамилия Азибекян — армянская по происхождению, что сразу видно по типичному суффиксу -ян (в старой орфографии -янц), означающему принадлежность к роду или происхождение. Этот суффикс в армянских фамилиях заменяет русские -ов/-ев и буквально переводится как «из семьи» или «потомок». Основа фамилии — Азибек — личное имя или прозвище, которое распадается на две части: «Ази» и «бек».

Первая часть, «Ази», скорее всего, восходит к арабскому имени Азиз (عزيز — «могущественный», «дорогой», «уважаемый»). В тюркских и кавказских языках это имя давали в честь одного из эпитетов Аллаха или просто как пожелание силы. Вторая часть — «бек» — тюркский титул, обозначающий князя, господина или военачальника, широко распространённый у народов Кавказа и Средней Азии. Таким образом, имя Азибек могло означать «могущественный господин» или «уважаемый бек».

Вероятнее всего, предок носителя фамилии Азибекян был человеком, носившим имя Азибек, либо его прозвали так за знатное происхождение или властный характер. Фамилии на -ян в Армении массово закрепились в XIX веке, когда при Российской империи проводилась унификация фамилий для учёта населения. До этого армяне часто обходились именем и указанием на отца или место рождения.

Географически фамилия Азибекян характерна для восточных армян (из регионов современной Армении, а также из Нагорного Карабаха), где было сильно тюркское влияние на язык и имена. В отличие от западных армян, у которых фамилии часто оканчиваются на -ян без вариантов, у восточных встречаются двойные основы с тюркскими элементами, как в этом случае.

Особенность фамилии в том, что она соединяет арабский корень с тюркским титулом, а затем обрастает армянским родовым суффиксом — это живая иллюстрация того, как на Кавказе переплетались языки и культуры. Встречается также вариант написания Азизбекян, который более прозрачно указывает на исходное имя Азиз.