Фамилия Азибекян — армянская, и это видно сразу по суффиксу -ян (в старой орфографии -янц). В армянских фамилиях он играет ту же роль, что русские -ов/-ев: указывает на принадлежность к роду, буквально — «из семьи» или «потомок». Массово такие фамилии закрепились в XIX веке, когда Российская империя проводила унификацию учёта населения; до этого армяне часто обходились именем и указанием на отца или место рождения.

Основа фамилии — личное имя или прозвище Азибек, которое распадается на две части. Первая, «Ази», скорее всего, восходит к арабскому имени Азиз (عزيز — «могущественный», «дорогой», «уважаемый»). На Кавказе и в тюркской среде это имя давали как в честь одного из эпитетов Аллаха, так и просто как пожелание силы. Вторая часть — «бек» — тюркский титул, обозначающий князя, господина или военачальника, широко распространённый у народов Кавказа и Средней Азии. Таким образом, имя Азибек могло означать «могущественный господин» или «уважаемый бек».

Вероятнее всего, предок носителя фамилии Азибекян носил имя Азибек, либо его прозвали так за знатное происхождение или властный характер. Географически фамилия характерна для восточных армян — из регионов современной Армении и Нагорного Карабаха, где было сильно тюркское влияние на язык и имена. В отличие от западных армян, у которых фамилии часто оканчиваются на -ян без вариантов, у восточных встречаются двойные основы с тюркскими элементами, как в этом случае.

Особенность фамилии Азибекян в том, что она соединяет арабский корень с тюркским титулом, а затем обрастает армянским родовым суффиксом — это живая иллюстрация того, как на Кавказе переплетались языки и культуры. Встречается также вариант написания Азизбекян, который более прозрачно указывает на исходное имя Азиз.