Фамилия Ажыбаева — женская форма фамилии Ажыбаев, и чтобы понять её происхождение, нужно разобрать мужской вариант. Основа здесь — «Ажыбай», и это типичная тюркская модель сложения двух корней: «ажы» (или «ажи») и «бай».

Первый корень, «ажы», восходит к арабскому «хаджи» — почётный титул мусульманина, совершившего паломничество в Мекку. В тюркских языках (киргизском, казахском, башкирском) звук «х» часто переходил в «к» или вовсе выпадал, а «дж» мог упрощаться до «ж». Так арабское «хаджи» превратилось в тюркское «ажы». Второй корень — «бай», в прошлом означавший «богатый человек, хозяин, господин», а позже ставший распространённым компонентом имён (как, например, в именах Акбай, Кутлубай) со значением уважения или пожелания достатка.

Таким образом, имя Ажыбай можно перевести как «богатый (уважаемый) как хаджи» или «господин, совершивший хадж». Это имя давали либо в честь реально побывавшего в Мекке предка, либо как благопожелательное — чтобы мальчик вырос достойным такого звания. Фамилия образовалась по стандартной тюркской модели: к имени Ажыбай добавили русский патронимический суффикс -ев (фонетический вариант -ов после мягкого согласного «й»), и получилось Ажыбаев. Женская форма, соответственно, Ажыбаева.

Фамилия Ажыбаева встречается среди киргизов и казахов, реже — у башкир и татар. В России она распространена на юге Сибири и в Поволжье, что связано с миграциями тюркских народов. Интересная деталь: вариант написания «Ажыбаев» (через «ы») указывает на сохранение тюркского произношения, в отличие от русифицированной формы «Ажибаев» (через «и»). Если ваши предки писались именно через «ы», это говорит о том, что фамилия фиксировалась в документах с попыткой передать оригинальный звуковой облик.