Фамилия Азин образована от имени собственного и относится к распространённому типу русских фамилий. Основой для неё послужило церковное имя Азарий. В переводе с древнееврейского оно означает «Бог помог». В быту имя Азарий часто сокращали до производной формы — Азя. Именно от этого обиходного варианта и пошла фамилия Азин. Суффикс -ин указывает на принадлежность: «чей?» — сын Ази, потомок человека по имени Азя.

Модель образования с суффиксом -ин — одна из самых продуктивных в русской ономастике. Она характерна для фамилий, образованных от имён или прозвищ, оканчивающихся на -а или -я (ср. Пушкин от Пушка, Ильин от Илья). Фамилия Азин вписывается в этот ряд: основа Азя плюс притяжательный суффикс.

О точном месте и времени возникновения фамилии говорить сложно: процесс формирования фамилий у разных сословий растянулся на несколько столетий. У крестьян, например, фамилии закрепились лишь к XIX веку. Однако ясно, что Азины — не редкий случай, когда полное крестильное имя почти вытеснилось в быту уменьшительной формой, и именно она стала родовым именем.

Любопытно, что фамилия Азин может иметь и другой корень — не от имени Азарий, а от прозвища Аза, которое в некоторых говорах давали человеку с восточной внешностью или смуглой кожей (от тюркского «аза» — «мало», «немного», или как вариант — от казанско-татарского имени Аза). Но версия с крестильным именем Азарий исторически более надёжна: она опирается на церковные святцы, где это имя встречается, и на типовую модель русских фамилий XVIII–XIX веков.