Фамилия Азмин — редкий случай, когда основа ясна, а суффикс говорит о происхождении больше, чем корень. Суффикс -ин указывает на принадлежность: в древнерусской модели так образовывались притяжательные прилагательные от личных имён или прозвищ, оканчивающихся на -а, -я. Азмин буквально значит «сын Азмы» или «человек из рода Азмы». Вопрос упирается в то, что такое само слово Азма.

Здесь возможны две основные версии, и обе имеют право на жизнь. Первая связывает Азму с тюркским именем Азма, которое в ряде тюркских языков означает «не сбивающийся с пути», «стойкий», «упорный». Это имя встречается у татар, башкир и других народов Поволжья. Вторая версия — от арабского имени Азим (Великий, Могучий), которое в бытовой русской речи могло редуцироваться до Азма: выпадение слабого звука и упрощение — типичный процесс при адаптации заимствованных имён в крестьянской среде.

География фамилии подтверждает связь с тюркским миром. Азмины — нечастая фамилия, но её концентрация заметна в Поволжье, особенно в Татарстане, Башкортостане и соседних областях. Встречается она и у русских, но в тех же регионах, что говорит либо о смешанных браках, либо о крещении носителей тюркских имён. В дореволюционных переписях и метрических книгах Азмины фигурируют как государственные крестьяне и мещане — то есть не дворяне, а люди податных сословий.

Интересная деталь: в некоторых говорах слово «азма» могло быть прозвищем человека с особенностью речи или походки, но это локальная, недокументированная гипотеза. Основной корень — всё-таки личное имя.

Таким образом, предок носителя фамилии Азмин с высокой вероятностью носил имя Азма (тюркское или арабо-тюркское) и жил в зоне контакта славянских и тюркских народов. Фамилия не получила широкого распространения, но сохранила чёткую родовую привязку.