Фамилия Азмукин — одна из тех, где за непривычным звучанием скрывается ясная логика прозвища. Её основа — тюркское слово «азмук» (или «азмук»), которое в разных диалектах означало «малая пища», «скудный корм» или «привада, приманка». Человек, получивший такое прозвище, мог быть неприхотливым в еде, либо, напротив, промышлять охотой с приманкой или обманом. Суффикс -ин здесь работает по простой модели принадлежности: Азмукин — это сын или потомок Азмука.

Есть и другая, менее вероятная версия: от мордовского или марийского личного имени Азмук, где «аз» могло означать «начало» или «счастье» (сравните с эрзянским «азор» — хозяин). В этом случае фамилия восходит к дохристианскому имени, которое со временем закрепилось в русской форме. Однако тюркская версия выглядит убедительнее: она лучше объясняет бытовой, почти прозвищный оттенок основы.

География фамилии узкая, но показательная. Основные носители живут в Поволжье — в Татарстане, Башкортостане и некоторых районах Удмуртии. Это прямо указывает на тюркскую или финно-угорскую почву. Среди однокоренных фамилий — Азмуков, Азмуханов, Азмуратов, но Азмукин стоит особняком из-за суффикса -ин. В этом ареале он чаще характерен для русских фамилий, образованных от основ на -а, что говорит о давней русификации прозвища.

В дореволюционных записях фамилия не встречается среди дворянских родов. Скорее всего, предки Азмукиных были государственными или ясачными крестьянами, либо служилыми татарами. Точных сведений о первом носителе нет, но модель образования подсказывает: фамилия сложилась не позднее XVII–XVIII веков, когда на русской службе массово фиксировали фамилии по отцу.