Фамилия Азмукин — редкая, и её происхождение неочевидно. Основная версия отсылает к тюркским языкам, где слово «азмук» или «азмук» могло означать «малая пища», «скудный корм» или «привада, приманка». В переносном смысле так могли назвать человека неприхотливого в еде, либо, наоборот, того, кто промышлял обманом или приваживал зверя — например, охотника. Суффикс -ин указывает на принадлежность: «чей?» — Азмукин, то есть сын или потомок Азмука.

Менее вероятная, но возможная версия — от мордовского или марийского личного имени Азмук, где «аз» может означать «начало» или «счастье» (ср. эрзянское «азор» — хозяин). В таком случае фамилия восходит к дохристианскому имени, которое со временем закрепилось в русской форме.

География фамилии узкая: основные носители встречаются в Поволжье (Татарстан, Башкортостан) и в некоторых районах Удмуртии. Это подтверждает тюркскую или финно-угорскую основу. Среди однокоренных фамилий — Азмуков, Азмуханов, Азмуратов, но Азмукин стоит особняком из-за суффикса -ин, который в этом ареале чаще характерен для русских фамилий от основ на -а.

В дореволюционных записях фамилия не встречается в дворянских родословных — скорее всего, предки Азмукиных были государственными или ясачными крестьянами, либо служилыми татарами. Точных сведений о первом носителе нет, но если опираться на модель образования, фамилия сложилась не позднее XVII–XVIII веков, когда на русской службе массово фиксировали фамилии по отцу.