Фамилия Азончик строится по прозрачной модели: основа Азон- плюс суффикс -чик. В восточнославянских фамилиях этот суффикс почти всегда указывает на профессию или занятие, часто закрепляясь за сыном или учеником мастера: извозчик, переплётчик, газетчик. Аналогично работают белорусские и польские фамилии вроде Гончарчик или Ковальчик — «сын гончара» или «сын кузнеца». Значит, и здесь исходное слово обозначало род деятельности или бытовую характеристику отца.

Основа Азон- скорее всего восходит к западнорусскому или белорусскому произношению слова «осёл» (асёл). В старину это слово не имело резко ругательного оттенка: осла держали как рабочее животное, а прозвище Азон (Осёл) могли дать либо владельцу осла, либо погонщику, либо упрямому, но выносливому человеку. От такого прозвища отца и образовалась фамилия: Азончик — сын или ученик Азона.

Есть и альтернативная версия, но она слабее. В польском языке есть слово azon — архаичное название азота, но оно книжное, из научного обихода, и вряд ли стало бы основой для деревенского прозвища. Другой вариант: от имени собственного Аза (сокращение от Азарий или Азат) с наращением -он и последующим -чик. Но первая версия — профессионально-прозвищная — убедительнее, потому что суффикс -чик в фамилиях восточных славян почти всегда «работает» именно с ремеслом или бытовой характеристикой, а не с личным именем.

Географически фамилия Азончик тяготеет к западным областям: Беларусь, западная Украина, восточная Польша. Именно там суффикс -чик особенно характерен для фамилий. В России она встречается редко и обычно как след миграции с запада в XIX–XX веках. Социально фамилия не дворянская и не крестьянская в узком смысле — она ремесленная, мещанская или казацкая, что типично для западных регионов, где фамилии активно складывались в XVI–XVII веках именно по профессиональному признаку.