Фамилия Азончик — один из тех случаев, когда форма сразу подсказывает путь разгадки. Суффикс -чик в русских фамилиях почти всегда указывает на профессию или занятие предка. Это уменьшительный суффикс деятеля: извозчик, переплётчик, газетчик. В фамилиях он закрепился за человеком по его ремеслу, часто — по отцу, который этим ремеслом владел.

Основа Азон- в данном контексте, скорее всего, восходит к западнорусскому или белорусскому произношению слова «осёл» (асёл). В старину «осёл» не имело ругательного оттенка, а обозначало либо владельца осла, либо погонщика, либо человека, которого в шутку сравнивали с этим упрямым, но выносливым животным. Сочетание Азон + -чик даёт «Азончик» — сын или ученик человека, которого звали (или прозвали) Азоном. То есть исходное прозвище отца — Азон (Осёл), а сын стал Азончиком.

Есть и альтернативная, хотя и менее вероятная версия. В польском языке существует слово azon — архаичное название азота, но оно книжное и вряд ли стало бы основой для деревенского прозвища. Также фамилия могла возникнуть от имени собственного Аза (сокращение от Азарий или Азат) с добавлением суффикса -он (Азон) и последующего -чик. Но первая версия — профессионально-прозвищная — выглядит убедительнее, потому что суффикс -чик в фамилиях восточных славян почти всегда «работает» именно с ремеслом или бытовой характеристикой.

Географически фамилия Азончик тяготеет к западным областям: Беларусь, западная Украина, восточная Польша. Именно там суффикс -чик особенно характерен для фамилий (сравните: Гончар — Гончарчик, Коваль — Ковальчик). В России эта фамилия встречается редко и обычно как след миграции с запада в XIX–XX веках.

Таким образом, предок носителя фамилии Азончик, скорее всего, был либо погонщиком ослов, либо человеком, которого в округе за упрямство называли Ослом. Фамилия не дворянская, не крестьянская в узком смысле — она ремесленная, мещанская или казацкая, что типично для западных регионов, где фамилии активно складывались в XVI–XVII веках именно по профессиональному признаку.