Фамилия Азуевская — женская форма, образованная от мужской Азуевский. В русской антропонимии фамилии на -ский/-цкой традиционно указывают на географическое происхождение: предок носителя мог владеть землёй или жить в населённом пункте с названием Азуево, Азуевка или подобным. Такая модель была особенно распространена среди дворянства и духовенства в XVII–XIX веках, но встречалась и у крестьян, переселившихся из одной деревни в другую. Суффикс -евск- в составе фамилии почти всегда привязан к топонимам, а не к личным прозвищам, что делает версию о географическом корне основной.

Корень Азу- вызывает вопросы — однозначной славянской этимологии у него нет. Скорее всего, это топоним тюркского или финно-угорского происхождения. В тюркских языках «азу» может означать «клык», «острый зуб» или «молодое животное»; в некоторых диалектах — личное имя. В финно-угорской среде (например, в марийском или удмуртском) «азу» — вариант слова «аза», «азы» со значением «начало», «основа». Поскольку фамилии на -ский часто возникали на северо-западе и в центральной России, где славяне контактировали с финскими племенами, финно-угорская версия не менее правдоподобна, чем тюркская.

Менее вероятно, что основа восходит к прозвищу Азуй — от диалектного глагола «азукать» (говорить невнятно, картавить) или «азать» (кричать, шуметь). В таком случае Азуевский означал бы «сын или потомок Азуя». Однако эта гипотеза слабая, так как суффикс -евск- редко образует фамилии от прозвищ: он почти всегда указывает на топоним.

Фамилия редкая. Встречается в основном в западных и центральных областях России, а также в Беларуси. Носительницы Азуевской могут иметь предков из бывших польско-литовских земель, где фамилии на -ский были особенно часты. Точных сведений о дворянском происхождении нет — возможно, фамилия возникла среди однодворцев или церковнослужителей, получивших её по названию прихода.