Фамилия Азуевский — редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. Суффикс -ский сразу выдаёт польское, украинское или белорусское влияние: по такой модели чаще всего образовывали фамилии от названий мест. А вот с основой «Азу-» нужно разбираться отдельно — в русском языке нет слова «азуй» или «азу», которое напрямую превратилось бы в прозвище.

Самая надёжная версия — географическая. Фамилия пошла от названия деревни вроде Азуево, Азуи или Азуевка. Такие топонимы встречаются на западе России, в Беларуси и на Украине. В Беларуси, например, есть деревня Азуи в Витебской области, а в Псковской области — урочище с похожим названием. Человек, переехавший оттуда, получал прозвище «Азуевский» — то есть «выходец из Азуев». Это типичная модель для дворянских и шляхетских фамилий, но в XIX веке, при оформлении паспортов, её перенимали и крестьяне.

Вторая версия — от тюркского корня. В татарском, башкирском и казахском языках «азу» означает «клык, бивень». Прозвище Азуй могли дать человеку с крупными передними зубами или, в переносном смысле, воинственному, «зубастому». Суффикс -евский в таком случае мог появиться при обрусении: Азуй → Азуев → Азуевский. Но эта гипотеза слабее: фамилии на -ский редко образуются от прозвищ на -й, поэтому географическая версия выглядит убедительнее.

Есть ещё спорная версия — от имени Аза (сокращение от Азарий или Азат) с переходом «аза» в «азу» через диалектное произношение. Но тогда логичнее была бы форма Азаевский или Азовский. Азуевский — случай локальный, и в словарях русских фамилий (например, у Б. Унбегауна или В. Никонова) она не упоминается, что только подтверждает её топонимический характер.

Сословная принадлежность носителей фамилии не зафиксирована — в списках дворянства она не встречается, значит, предки были, скорее всего, крестьянами или мещанами из западных губерний. Сегодня Азуевские живут в основном в России и Беларуси, но численность их невелика. Если ваша фамилия Азуевский, велика вероятность, что корни ведут в небольшую деревню между Смоленском, Витебском и Псковом.