Фамилия Азуевский — редкая и неочевидная. Первое, что бросается в глаза, — суффикс -ский, который указывает на польское, украинское или белорусское происхождение, либо на формирование фамилии по географическому принципу (от названия места). Но с основой «Азу-» всё сложнее: в русском языке нет слова «азуй» или «азу», которое дало бы прямое прозвище.

Самая вероятная версия — фамилия образована от названия населённого пункта вроде Азуево, Азуи или Азуевка. Такие топонимы встречаются на западе России, в Беларуси и на Украине. Например, в Беларуси есть деревня Азуи (Витебская область), а в Псковской области — урочище с похожим названием. Человек, переехавший из такой местности, получал прозвище «Азуевский» — то есть «выходец из Азуев». Это типичная модель для дворянских и шляхетских фамилий, но позднее её перенимали и крестьяне при оформлении паспортов в XIX веке.

Вторая версия, менее очевидная, — от тюркского имени или прозвища. В татарском, башкирском и казахском языках есть корень «азу» — «клык, бивень». Прозвище Азуй могли дать человеку с крупными передними зубами или, в переносном смысле, — воинственному, «зубастому» человеку. Суффикс -евский в таком случае мог появиться при обрусении тюркской фамилии: Азуй → Азуев → Азуевский. Однако эта гипотеза слабее: фамилии на -ский редко образуются от прозвищ на -й, и географическая версия здесь правдоподобнее.

Спорная версия — от имени Аза (сокращение от Азарий, Азат) с переходом «аза» в «азу» через диалектное произношение. Но тогда логичнее была бы форма Азаевский или Азовский. Азуевский — редкий случай, и в словарях русских фамилий (например, у Б. Унбегауна или В. Никонова) она не упоминается, что подтверждает её локальный, топонимический характер.

Сословная принадлежность носителей фамилии не зафиксирована — в списках дворянства она не встречается, значит, предки были, скорее всего, крестьянами или мещанами из западных губерний. Сегодня Азуевские живут в основном в России и Беларуси, но численность их невелика. Если ваша фамилия Азуевский, велика вероятность, что корни ведут в небольшую деревню между Смоленском, Витебском и Псковом.