Фамилия Азябин — редкий случай, когда прозвище, лёгшее в основу, почти наверняка связано с диалектным словом, а не с крестильным именем. Корень здесь — «азяба» или «озяба». В северных и сибирских говорах так называли человека, который легко мёрзнет, зябкого, кутающегося в любую погоду. Слово образовано от глагола «зябнуть» с приставкой «о-» или «а-», которая в народной речи часто звучала неразличимо. Таким образом, Азяба — это прозвище по заметной особенности: предок был очень чувствителен к холоду. Возможно, прозвище закрепилось за ним в шутку, а может, он и впрямь мёрз больше других.

Фамилия образована по самой распространённой русской модели: к основе «Азяб-» добавили суффикс принадлежности «-ин». В древнерусском языке суффикс «-ин» указывал на принадлежность к конкретному лицу: «чей сын?» — «Азябин», то есть сын Азябы. Такая модель типична для прозвищ, оканчивающихся на -а, -я. Сравните: Кузьмин, Ильин, Фомин — все они образованы от имён или прозвищ с тем же окончанием.

География фамилии неширокая, что подтверждает её диалектное происхождение. Азябины встречаются в основном на Русском Севере, в Вологодской и Архангельской областях, а также в Сибири — в местах, куда переселялись северяне. Если ваши предки оттуда, версия с «зябким человеком» становится почти доказанной. Менее вероятна, но возможна связь с тюркским корнем «азиз» (святой, дорогой) через татарское «Азяба», но в таком случае фамилия скорее писалась бы как Азябаев или Азизов. Для центральной России это маловероятно.

Ударение в фамилии чаще всего падает на второй слог — Азя́бин, хотя в некоторых говорах могут произносить Азяби́н. На письме встречается вариант Озябин — с восстановленной исконной приставкой «о-». В старых документах оба написания могли сосуществовать, обозначая одну и ту же семью.

Итог простой: фамилия Азябин — северорусская, прозвищная, довольно редкая. Предок был человеком, которого дразнили за любовь к теплу или за постоянное «зябкое» выражение лица. Ничего героического или знатного — зато живая деталь быта, застывшая в фамилии на века.