Фамилия Азяева — женская форма, мужская — Азяев. В основе лежит прозвище или нецерковное имя Азяй. Такие имена на -яй в старину были не редкостью: вспомним широко известное Мамай. У них общая модель образования, но корни могут быть разными.

Самый прямой путь — от тюркского слова «аза» (мало, небольшой) или «аз» (один из вариантов произношения). В тюркских языках, особенно в татарском и башкирском, слово «аз» значит «мало», «немного». Прозвище Азяй могли дать невысокому человеку, младшему в семье или тому, кто довольствовался малым. Суффикс -яй в таких именах часто имел ласкательный или уменьшительный оттенок, как в русских именах Ваня, Петя, но в тюркской среде он работал иначе: мог превращать нарицательное слово в личное имя.

Вторая версия, менее вероятная, но возможная — от арабского имени Азиз (могущественный, дорогой) через диалектное произношение. В некоторых говорах «зиз» могло перейти в «зяй», а затем и в «зяй». Однако для фамилии Азяев такой переход не типичен: обычно арабское Азиз давало фамилии Азизов, Азязов, но не Азяев.

Фамилия Азяев встречается в основном в Поволжье — в Татарстане, Башкортостане, Ульяновской и Самарской областях. Это указывает на её тюркские корни, скорее всего, татарские или башкирские. В русских говорах слово «азяй» не зафиксировано, поэтому версия о чисто славянском происхождении — от какого-нибудь забытого диалектного «аз» — остаётся лишь гипотезой без серьёзных подтверждений.

Фамилия образована по русской модели с суффиксом -ев, что типично для фамилий тюркского происхождения, вошедших в русский обиход. Суффикс присоединился к основе «Азя» (стяжённая форма от Азяй), и получилось «Азяев» — буквально «сын Азяя».