Фамилия Азяева — женская форма, мужская — Азяев. В основе лежит прозвище или нецерковное имя Азяй, а сама фамилия образована по русской модели с суффиксом -ев. Это буквально означает «сын Азяя» и типично для фамилий тюркского происхождения, вошедших в русский обиход: суффикс присоединился к основе «Азя» (стяжённая форма от Азяй).

Такие имена на -яй в старину были не редкостью — вспомним широко известное Мамай. У них общая модель образования, но корни могут быть разными. Самый прямой путь — от тюркского слова «аза» (мало, небольшой) или «аз» (один из вариантов произношения). В тюркских языках, особенно в татарском и башкирском, «аз» значит «мало», «немного». Прозвище Азяй могли дать невысокому человеку, младшему в семье или тому, кто довольствовался малым. Суффикс -яй в таких именах часто имел ласкательный или уменьшительный оттенок, как в русских именах Ваня, Петя, но в тюркской среде он работал иначе: мог превращать нарицательное слово в личное имя.

Вторая версия, менее вероятная, но возможная — от арабского имени Азиз (могущественный, дорогой) через диалектное произношение. В некоторых говорах «зиз» могло перейти в «зяй», а затем и в «зяй». Однако для фамилии Азяев такой переход не типичен: обычно арабское Азиз давало фамилии Азизов, Азязов, но не Азяев.

География бытования указывает на тюркские корни, скорее всего, татарские или башкирские. Фамилия Азяев встречается в основном в Поволжье — в Татарстане, Башкортостане, Ульяновской и Самарской областях. В русских говорах слово «азяй» не зафиксировано, поэтому версия о чисто славянском происхождении — от какого-нибудь забытого диалектного «аз» — остаётся лишь гипотезой без серьёзных подтверждений.