Фамилия Азыков — редкий случай, когда происхождение почти наверняка связано с тюркскими языками, а не с русскими корнями. В основе лежит слово «азык» или «азыг». В большинстве тюркских наречий «азык» означает «пища», «продовольствие», «еда». Соответственно, Азык — это прозвище человека, связанное с питанием: либо того, кто добывал или заготавливал пищу (например, интендант, повар, снабженец в походе), либо, напротив, любителя плотно поесть. Параллель в русской традиции — фамилия Едовин или Каширин.

Суффикс -ов указывает на стандартную русскую модель образования от отчества или прозвища: «чей?» — Азыков, то есть сын или потомок Азыка. Такая фамилия могла появиться у крещёных татар, башкир или других тюркоязычных народов, вошедших в состав русского государства. В этом случае предок носителя фамилии, скорее всего, был служилым человеком или крестьянином, получившим фамилию по своему мирскому прозвищу.

Вторая, менее вероятная версия, отсылает к тюркскому «азыг» в значении «клык» или «бивень». Тогда прозвище Азык могли дать человеку с крупными, выдающимися передними зубами. В пользу этой гипотезы говорит то, что в древнетюркском языке «азыг» — это именно клык. Однако в бытовой ономастике прозвища, связанные с чертами внешности (вроде Зубов или Клыков), встречаются реже, чем прозвища по роду занятий, поэтому версия с «пищей» выглядит более убедительной.

Фамилия географически привязана к регионам с тюркским населением: Татарстан, Башкортостан, Оренбуржье, а также к местам расселения ногайцев и астраханских татар. Встречается она нечасто — это не массовая фамилия, а локальная, что подтверждает её происхождение от конкретного прозвища, а не от распространённого имени.

Однокоренных фамилий в русском языке практически нет. Можно вспомнить разве что Азыковы — вариант написания с двумя «з», который встречается в документах XVIII–XIX веков, но это, скорее всего, ошибка писаря или диалектное произношение.