Фамилия Бабаурина — женская форма, мужской вариант — Бабаурин. В основе лежит прозвище или нецерковное имя Бабаур. Первое, что бросается в глаза, — это редкость суффиксальной модели. В русских фамилиях чаще встречаются образования на -ов/-ев или -ин, а здесь мы видим суффикс -урин, который указывает на происхождение от прозвища с окончанием -ура. Это характерно для севернорусских и, отчасти, уральских говоров, где такие формы (типа «крикун» — «крикура») были в ходу.

Само слово «бабаур» не зафиксировано в литературном языке, но его можно реконструировать как диалектное. Вероятнее всего, оно связано с глаголом «бабаурить» — в некоторых говорах это означало «говорить без умолку, тараторить, болтать вздор». Тогда Бабаур — человек говорливый, суетливый или, наоборот, тот, кто постоянно бормочет себе под нос. Менее вероятная, но возможная версия — происхождение от тюркского корня «баба» (отец, дед, уважаемый старец) с добавлением местного суффикса -ур, но для фамилии, бытующей в русской среде, это скорее исключение.

Географически фамилия Бабаурин встречается преимущественно в Вологодской, Архангельской областях и в Пермском крае — то есть в зоне, где активно бытовали диалектные прозвища на -ура. В дореволюционных переписях носители фамилии чаще всего числились государственными крестьянами, реже — мещанами. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано.

С точки зрения словообразования фамилия Бабаурин — редкий пример, когда прозвищная основа не перешла в стандартную модель на -ов, а сохранила архаичный суффикс. Если ваш предок носил это прозвище, он, скорее всего, был заметным в деревне человеком — не обязательно лидером, но тем, кого запоминают по манере говорить или по суетливому нраву.