Фамилия Бабицька — один из тех случаев, когда написание подсказывает географию бытования больше, чем корень. Форма с мягким знаком и окончанием -ька характерна для западнославянских языков, прежде всего польского. В русском языке фамилии на -ицкая (Бабицкая) распространены шире, а вариант Бабицька — это либо полонизированная запись, либо наследие территорий, входивших в Речь Посполитую (современные Беларусь, Украина, западные области России).

Основа — «баба». В ономастике это одна из самых многозначных основ. Чаще всего фамилии от «бабы» возникали как прозвища: так могли называть повитуху, знахарку, вдову, либо, в ироничном ключе, изнеженного или трусоватого мужчину. Менее вероятно, но возможно происхождение от имени Баба — так в древнерусских документах фиксировали языческое личное имя. Суффикс -ицк- указывает на принадлежность или происхождение: Бабицька — буквально «та, что из рода Бабы» или «дочь/жена Бабы».

Формант -ский/-цкий в польской традиции часто носил шляхетский оттенок, но к XVIII–XIX векам такие фамилии массово распространились среди крестьян и мещан. Поэтому прямого указания на дворянство фамилия не даёт — скорее, на регион бытования.

В написании Бабицька отчётливо видна польская орфография (ć перед ь), что сужает ареал: скорее всего, фамилия закрепилась на землях бывшего Великого княжества Литовского или в Галиции. В современных польских метриках встречается форма Babicka, но с твёрдым произношением; вариант с мягким знаком — результат адаптации в кириллице.

Итог: если вы носите фамилию Бабицька, ваши предки, вероятно, жили на западнорусских или украинских землях под польским культурным влиянием, а прозвище «Баба» могло относиться к конкретному человеку — по занятию, характеру или внешности.