Фамилия Барицька звучит по-украински, и это первая подсказка. Типичный суффикс -цьк- (в мужском роде -цький, в женском -цька) указывает на то, что перед нами форма, образованная по модели польских и украинских фамилий на -ski/-цький. Такие фамилии часто давали по названию местности: села, местечка или урочища. Исходной основой здесь могло стать название населенного пункта Барич (Barycz) или Баричі. В Польше и Западной Украине действительно встречаются топонимы с таким корнем, например, река Барич на юге Польши или несколько сел с похожими названиями. Соответственно, первый носитель фамилии Барицький (а женщина Барицька — это его жена или дочь) мог быть выходцем из такого места — «тот, кто из Барича».

Менее вероятная, но возможная версия отталкивается от прозвища. В украинских говорах слово «барич» могло означать «барышник», «перекупщик» или «человек, который любит поторговаться». Тогда фамилия фиксировала бы род занятий или характер. Однако для прозвищного происхождения чаще встречаются суффиксы -енко или -ук, а суффикс -цький всё-таки прочнее связывают с географией.

Обратите внимание на написание: через «і» (Барицька), а не через «ы» или «и». Это характерно для украинской орфографии, где «и» передаёт звук, близкий к русскому «ы», а «і» — более мягкий. В дореволюционных документах фамилию могли записывать по-разному: Барицкая, Барицка, Баричьска — в зависимости от того, кто и как слышал. Сейчас форма «Барицька» однозначно указывает на украинскую культурную и языковую среду, возможно, из центральных или западных областей Украины.

Фамилия редкая. В открытых базах данных и телефонных справочниках встречается единично. Это значит, что её носители, скорее всего, происходят из одного или нескольких близких родов, а не из массового крестьянского «переименования» XIX века. Если вы ищете свои корни, стоит проверить метрические книги и ревизские сказки по Волынской, Подольской или Киевской губерниям — там вероятность найти упоминания выше.